BZOJ 1005 [HNOI2008]明明的烦恼
2015-07-11 22:10
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1005: [HNOI2008]明明的烦恼
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Description
自从明明学了树的结构,就对奇怪的树产生了兴趣...... 给出标号为1到N的点,以及某些点最终的度数,允许在任意两点间连线,可产生多少棵度数满足要求的树?Input
第一行为N(0 < N < = 1000),接下来N行,第i+1行给出第i个节点的度数Di,如果对度数不要求,则输入-1Output
一个整数,表示不同的满足要求的树的个数,无解输出0Sample Input
31
-1
-1
Sample Output
2HINT
两棵树分别为1-2-3;1-3-2Source
题解:天哪。。这要是在考场上怎么想得完,蒟蒻做不到。。。用到了prufer数列,以下摘自度娘:
Prufer数列是无根树的一种数列。在组合数学中,Prufer数列由有一个对于顶点标过号的树转化来的数列,点数为n的树转化来的Prufer数列长度为n-2。它可以通过简单的迭代方法计算出来。它由Heinz Prufer于1918年在证明cayley定理时首次提出。
1将树转化成Prufer数列的方法
一种生成Prufer序列的方法是迭代删点,直到原图仅剩两个点。对于一棵顶点已经经过编号的树T,顶点的编号为{1,2,...,n},在第i步时,移去所有叶子节点(度为1的顶点)中标号最小的顶点和相连的边,并把与它相邻的点的编号加入Prufer序列中,重复以上步骤直到原图仅剩2个顶点。例子
Prufer数列
以右边的树为例子,首先在所有叶子节点中编号最小的点是2,和它相邻的点的编号是3,将3加入序列并删除编号为2的点。接下来删除的点是4,5被加入序列,然后删除5,1被加入序列,1被删除,3被加入序列,此时原图仅剩两个点(即3和6),Prufer序列构建完成,为{3,5,1,3}
2将Prufer数列转化成树的方法
设{a1,a2,..an-2}为一棵有n个节点的树的Prufer序列,另建一个集合G含有元素{1..n},找出集合中最小的未在Prufer序列中出现过的数,将该点与Prufer序列中首项连一条边,并将该点和Prufer序列首项删除,重复操作n-2次,将集合中剩余的两个点之间连边即可。例子
仍为上面的树,Prufer序列为{3,5,1,3},开始时G={1,2,3,4,5,6},未出现的编号最小的点是2,将2和3连边,并删去Prufer序列首项和G中的2。接下来连的边为{4,5},{1,5},{1,3},此时集合G中仅剩3和6,在3和6之间连边,原树恢复。
以下摘自怡红公子:该题需要将树转化为prufer编码:
n为树的节点数,d[ ]为各节点的度数,m为无限制度数的节点数。
则
所以要求在n-2大小的数组中插入tot各序号,共有
种插法;
在tot各序号排列中,插第一个节点的方法有
种插法;
插第二个节点的方法有
种插法;
.........
另外还有m各节点无度数限制,所以它们可任意排列在剩余的n-2-tot的空间中,排列方法总数为
;
根据乘法原理:
然后就要高精度了.....但高精度除法太麻烦了,显而易见的排列组合一定是整数,所以可以进行质因数分解,再做一下相加减。
关于n!质因数分解有两种方法,第一种暴力分解,这里着重讲第二种。
若p为质数,则n!可分解为 一个数*
,其中
且
<n
所以
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
然后呢。。。貌似就可以做了?
不过写起来还是很hentai的。。。高精度最hentai。。。我才不是复制的。。。
#include<iostream> #include<cstdio> #include<cmath> #include<algorithm> #include<queue> #include<cstring> #define PAU putchar(' ') #define ENT putchar('\n') using namespace std; const int maxn=1000+10,maxm=10000+10,inf=-1u>>1; const int MAXN=3010; struct bign{ int len,s[MAXN]; bign(){memset(s,0,sizeof(s));len=1;} bign(int num){*this=num;} bign(const char *num){*this=num;} bign operator = (const int num){ char s[MAXN]; sprintf(s,"%d",num); *this = s;return *this; } bign operator = (const char *num){ for(int i=0;num[i]=='0';num++); len=strlen(num); for(int i=0;i<len;i++) s[i]=num[len-i-1]-'0'; return *this; } bign operator + (const bign &b) const{ bign c;c.len=0; for(int i=0,g=0;g||i<max(len,b.len);i++) { int x=g; if(i<len) x+=s[i]; if(i<b.len) x+=b.s[i]; c.s[c.len++]=x%10; g=x/10; } return c; } void clean(){while(len > 1 && !s[len-1]) len--;return;} bign operator * (const bign &b){ bign c; c.len=len+b.len; for(int i=0;i<len;i++) for(int j=0;j<b.len;j++) c.s[i+j]+=s[i]*b.s[j]; for(int i=0;i<c.len;i++){ c.s[i+1]+=c.s[i]/10; c.s[i]%=10; } c.clean();return c; } bign operator - (const bign &b){ bign c;c.len=0; for(int i=0,g=0;i<len;i++){ int x=s[i]-g;if(i<b.len) x-=b.s[i]; if(x>=0) g=0; else g=1,x+=10; c.s[c.len++]=x; } c.clean();return c; } bool operator < (const bign &b) { if(len!=b.len) return len<b.len; for(int i=len-1;i>=0;i--){ if(s[i]!=b.s[i]) return s[i]<b.s[i]; } return false; } bool operator > (const bign &b){ if(len!=b.len) return len>b.len; for(int i=len-1;i>=0;i--){ if(s[i]!=b.s[i]) return s[i]>b.s[i]; } return false; } bool operator == (const bign &b){ return !(*this>b)&&!(*this<b); } void print(){ for(int i=len-1;i>=0;i--) putchar(s[i]+'0');return; } }ans; bign pow(int x0,int y){ bign x=x0,ans=1;for(int i=y;i;i>>=1,x=x*x)if(i&1)ans=ans*x;return ans; } int n,m,tot=0,fenmu[maxn],fenzi[maxn];bool prime[maxn]; void initp(){ memset(prime,true,sizeof(prime));prime[0]=prime[1]=false;prime[2]=true; for(int i=2;i*i<=n;i++)if(prime[i])for(int j=i*i;j<=n;j+=i)prime[j]=false; } void split(int t,int a[]){ int sum;for(int i=2;i<=t;i++)if(prime[i]){ sum=i;while(sum<=t)a[i]+=t/sum,sum*=i; }return; } inline int read(){ int x=0,sig=1;char ch=getchar(); while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')sig=-1;ch=getchar();} while(isdigit(ch))x=10*x+ch-'0',ch=getchar(); return x*=sig; } inline void write(int x){ if(x==0){putchar('0');return;}if(x<0)putchar('-'),x=-x; int len=0,buf[15];while(x)buf[len++]=x%10,x/=10; for(int i=len-1;i>=0;i--)putchar(buf[i]+'0');return; } void init(){ n=read();initp();int d; for(int i=1;i<=n;i++){ d=read(); if(d<0){m++;continue;} if(d>1)split(d-1,fenmu); tot+=d-1; }split(n-2-tot,fenmu);split(n-2,fenzi); return; } void work(){ for(int i=1;i<=1000;i++)fenzi[i]-=fenmu[i];ans=1; for(int i=1;i<=1000;i++)if(fenzi[i])ans=ans*pow(i,fenzi[i]); if(m)ans=ans*pow(m,n-2-tot); if(tot>n-2||(tot<n-2&&!m)){write(0);return;} return; } void print(){ ans.print(); return; } int main(){init();work();print();return 0;}
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