求最大连续区间和的几种方法

今天做bestcoder想到的，几种做最大连续区间和的方法。

定义最大连续区间和：给定一个长度为n的序列a[1],a[2]...a
，求一个连续的子序列a[i],a[i+1]...a[j-1],a[j]使得a[i]+a[i+1]...+a[j-1]+a[j]最大。

1、根据定义来枚举：枚举上下界i,j，维护一个max值

其中枚举上下界的复杂度为O(n²)，求区间和复杂度为O(n)，所以总的时间复杂度是O(n^3)。

for(int i = 1; i <= n ; i++)

for(int j = i; j<= n; j++)

ans = max(ans,accumulate(a+i,a+j+1,0));

2、对求区间和的操作做预处理，令sum[i] = a[0] + a[1] + a[2] ... + a[i-1] + a[i]  计算区间和的复杂度可降为O(1)，枚举上下界的复杂度不变，所以总的时间复杂度为O(n²)。

for(int i =1;i<=n;i++)

sum[i] = sum[i-1] + a[i];

for(int i = 1; i <= n ; i++)

for(int j = i; j<= n; j++)

ans = max(ans,sum[j]-sum[i-1]);

3、利用动态规划的思维来继续优化，得到一个线性的基本算法，也是基本连续子区间和的标准算法：

定义maxn[i]为以i为结尾的最大连续和，则很容易找到递推关系：maxn[i] = max{0,max[i-1] + a[i]} 

所以只要扫描一遍即可，总时间复杂度为O(n)。

for(int i =1; i <= n; i++)

{

last = max(0,maxn[i-1]) + a[i];

ans = max(ans,last);

}