POJ 1061 青蛙的约会 扩展欧几里得

青蛙的约会

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Description

两只青蛙在网上相识了，它们聊得很开心，于是觉得很有必要见一面。它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上，于是它们约定各自朝西跳，直到碰面为止。可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情，既没有问清楚对方的特征，也没有约定见面的具体位置。不过青蛙们都是很乐观的，它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去，总能碰到对方的。但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上，不然是永远都不可能碰面的。为了帮助这两只乐观的青蛙，你被要求写一个程序来判断这两只青蛙是否能够碰面，会在什么时候碰面。

我们把这两只青蛙分别叫做青蛙A和青蛙B，并且规定纬度线上东经0度处为原点，由东往西为正方向，单位长度1米，这样我们就得到了一条首尾相接的数轴。设青蛙A的出发点坐标是x，青蛙B的出发点坐标是y。青蛙A一次能跳m米，青蛙B一次能跳n米，两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长L米。现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。

Input

输入只包括一行5个整数x，y，m，n，L，其中x≠y < 2000000000，0 < m、n < 2000000000，0 < L < 2100000000。
Output

输出碰面所需要的跳跃次数，如果永远不可能碰面则输出一行"Impossible"
Sample Input

1 2 3 4 5

Sample Output

4

题意：比较明显，中文题目嘛。

分析：要使两个青蛙能相遇的话，那么他们所走总路程差就一定要是纬度总长L的整数倍。由于他们跳一次花的时间一样长，只是跳的距离不一样远，所以我们设他们都跳了t次，他们起始位置分别是 x 和 y，所能跳的距离分别为 m，n，那么就有 (x+m*t)-(y+n*t)=k*L ； (x-y)+(m-n)*t=k*L 化成线性同余方程就是，(m-n)*t =(x-y) (mod L)

形如：a*x=c(mod b)方程有解，当且仅当gcd(a,b) | (x-y) ，方程才有解。求解线性同余方程，可以用扩展欧几里得来解决。

欧几里得算法的拓展应用中有如下三条定理：

定理一：如果d = gcd(a, b)，则必能找到正的或负的整数k和l，使d = a*x+ b*y。

定理二：若gcd(a, b) = 1，则方程ax ≡ c (mod b)在[0, b-1]上有唯一解。

定理三：若gcd(a, b) = d，则方程ax ≡ c (mod b)在[0, b/d - 1]上有唯一解。

证明：上述同余方程等价于ax + by = c，如果有解，两边同除以d，就有a/d * x + b/d * y = c/d，即a/d * x ≡ c/d (mod b/d)，显然gcd(a/d, b/d) = 1，所以由定理二知道x在[0,
b/d - 1]上有唯一解。所以ax + by = c的x在[0, b/d - 1]上有唯一解，即ax ≡ c (mod b)在[0, b/d - 1]上有唯一解。

如果得到ax ≡ c (mod b)的某一特解X，那么令r = b/gcd(a, b)，可知x在[0, r-1]上有唯一解，所以用x = (X % r + r) % r就可以求出最小非负整数解x了！（X % r可能是负值，此时保持在[-(r-1), 0]内，正值则保持在[0, r-1]内。加上r就保持在[1, 2r - 1]内，所以再模一下r就在[0, r-1]内了）。

对于exgcd()的工作原理：

对于不完全为0的非负整数a, b. gcd(a, b)表示a, b 的最大公约数。那么存在整数x， y使得 gcd(a,
b) = a * x + b * y;
不妨设a > b
① ，当b = 0 时，gcd(a, b) = a , 此时 x
= 1, y = 0;
② ，当 a * b <> 0 时，
设 a * x + b * y = gcd(a, b); (1)
b * x0 + (a % b) * y0 = gcd( b, a % b); (2)
由朴素的欧几里德公式; gcd(a, b) = gcd (b, a % b);
得(1)，(2) a * x + b * y = b * x0 + (a % b) * y0
= b * x0 + (a – a / b * b) * y0
= a * y0 + ( x0 – a / b * y0 ) * b
所以 x = y0, y = x0 – a / b * y0;

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <string>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
typedef long long ll;

using namespace std;

ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
    ll r,t;
    if(b==0)
    {
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    r=exgcd(b,a%b,x,y);
    t=x;
    x=y;
    y=t-a/b*y;

    return r;
}

int main()
{
    ll x,y,m,n,L;
    ll d,r,xx,yy;

    while(~scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&x,&y,&m,&n,&L))
    {
        d=exgcd( (n-m),L,xx,yy );//求得最大公约数

        if( (x-y)%d )//判断线性同余方程是否有解
        {
            printf("Impossible\n");
            continue;
        }

        xx=xx*((x-y)/d);
        r=L/d;
        xx=(xx%r+r)%r;

        printf("%lld\n",xx);
    }

    return 0;
}