阶乘相关问题

定义：
一个正整数的阶乘（英语：factorial）是所有小于及等于该数的正整数的积，并且有0的阶乘为1。自然数n的阶乘写作n!。
亦即n!=1×2×3×...×n。阶乘亦可以递归方式定义：0!=1，n!=(n-1)!×n。

问题1、给定一个整数N，那么N的阶乘N！末尾有多少个0呢？例如：N = 10 ， N！ = 3628800，N！的末尾有两个0。

解析：加入完整得计算N！的阶乘，很可能发生溢出。我们可以从另外的角度出发，“哪些数相乘能的到10”。
N！ = K * 10的M次方，K不能被10整除，那么N！末尾就有M个0.对N！进行质因数分解，N！=2的x次方　×　３的Ｙ次方　×　５的Ｚ次方　×……　，由于１０＝２×５，所以Ｍ只跟Ｘ和Ｚ有关，每一对２和５相乘可以得到一个１０，于是Ｍ　＝　ｍｉｎ（Ｘ，Ｚ）。不难看出Ｘ大于等于Ｚ，因为能被２整除的书出现的频率比被５整除的数高得多，所以吧公式化简为Ｍ　＝　Ｚ（能整除的５的个数）；

方法1：
最直接的方法，计算ｉ（１,２,３，……，Ｎ）的因式分解中５的指数，然后求和。

/**
* 计算N的阶乘结果末尾0的位数
* @param N 求阶乘的数
* @return N的阶乘结果末尾0的位数
*/
public static int getLowZeroNum(int N)
{
int ret = 0;
int j ;
for(int i = 1 ; i <=N ; i++)
{
j = i;
while(j % 5 == 0)
{
ret ++;
j = j / 5;
}
}
return ret;
}

方法２:公式法
公式：Z = 【N/5】 + 【N/5的平方】 + 【N/5的立方】+……， （不用担心这回事一个无穷的运算，因为总存在一个K，使得 5的K次方 > N，【N/5的K次方】 = 0。
公式中，【N/5】表示不大于N的数中5的倍数贡献一个5，【N/5的平方】表示不大于N的数中，5的平凡的倍数在贡献一个5…… 代码如下：

/**
* 计算N的阶乘结果末尾0的位数
* @param N 求阶乘的数
* @return N的阶乘结果末尾0的位数
*/
public static int getLowZeroNum2(int N)
{
int ret = 0;
while(0 != N)
{
ret += N/5;
N /= 5;
}
return ret;
}

问题2、求N!的二进制表示中最低位1的位置
把一个2进制数除以2，判断最后一个二进制位是否为0；若为0，则将此二进制数右移一位，即为商值；反之，若为1，则说明这个二进制数是奇数，无法被2整除。所以这个问题实际上等同于求N！含有质因数2的个数。即答案等于N！含有质因数2的个数加1。

解法1：
N！中含有质因数2的个数，等于【N/2】+【N/4】+【N/8】+【N/16】+ ……，
具体算法如下：

/**
* N的阶乘最低位1的位置
* @param N 求阶乘的数
* @return N的阶乘最低位1的位置
*/
public static int getThePosition(int N)
{
int ret = 0;
while(0 != N)
{
N = N >> 1; //右移一位，相当于十进制除以2

ret += N; //不大于当前N的2的倍数的个数
}
return ret;
}

测试：

public static void main(String[] args)
{
//测试计算N的阶乘结果末尾0的位数
int N = 5;
System.out.println(N + "的阶乘结果末尾0的位数：" + Factorial.getLowZeroNum(N));
System.out.println(N + "的阶乘结果末尾0的位数：" + Factorial.getLowZeroNum2(N));

//测试N的阶乘最低位1的位置
System.out.println(N + "N的阶乘最低位1的位置:" + Factorial.getThePosition(N));
}

结果：
5的阶乘结果末尾0的位数：1
5的阶乘结果末尾0的位数：1
5N的阶乘最低位1的位置:3

小结：
任意一个长度为m的二进制数N可以表示为 N = b[1] + b[2]*2 + b[3]*4 + …… + b[m]*2的m-1次方 ，其中b[i]表示此二进制数第i位上的数字（1或0）。所以，若最低位b[1]为1，则说明N为奇数；反之为偶数，将其除以2，即等于将整个二进制数向低位移一位。