相关性检验-Spearman秩相关系数和皮尔森相关系数

感谢原作者Orisun。介绍的很详细

皮尔逊相关系数（Pearson correlation coefficient）也叫皮尔森积差相关系数（Pearson product-moment coreelation coefficient），是用来

反映两个变量相似程度的统计量。或者说可以用来计算两个向量的相似度（在基于向量空间模型的文本分类、用户喜好推荐系统中应用广泛）。

分子是协方差，分母是两个变量标准差的乘积，要求X和Y的标准差都不能为0
当两个变量的线性关系增强时，相关系数趋于1或-1，正相关时趋于1，负相关时趋于-1.当两个变量相互独立时为0，反之不成立，e.g：
y=x2,X服从[-1,1]上的均匀分布，此时E(XY)为0，E(X)也为0，所以皮尔逊相关系数也为0，但是x和y明显不独立。
但是，当Y和X服从联合正态分布时，其相互独立和不相关是等价的。
居中：每个数据减去样本均值，居中后他们的平均值就为0。
E(X)和E(Y)=0，此时有：

即相关系数可以看做是两个随机变量中得到的样本集向量之间家教的Cosine函数。
当X和Y向量归一化后，||X||=||Y||=1,相关系数，即为两个向量的乘积  

使用Pearson线性相关系数有两个局限：
1.必须假设数据是成对地从正态分布中取得
2.数据至少在逻辑范围内是等距的
Spearman秩相关系数就是其中一种解决方法，Spearman秩相关系数是一种无参数（与分布无关）检验方法，用于度量变量之间联系的强弱。在没有重复数据的情况下，如果一个变量是另外一个变量的严格单调函数，则Spearman秩相关系数就是+1或者-1，称变量完全Spearman秩相关。
对原始数据xi,yi按从大到小排序，记x'i,y'i为原始xi,yi在排序后列表中的位置，x'i,y'i称为xi,yi的秩次，秩次差di=x'i-y'i。Spearman秩相关系数为：

位置	原始X	排序后	秩次	原始Y	排序后	秩次	秩次差
1	12	546	5	1	78	6	1
2	546	45	1	78	46	1	0
3	13	32	4	2	45	5	1
4	45	13	2	46	6	2	0
5	32	12	3	6	2	4	1
6	2	2	6	45	1	3	-3

对于上表数据，算出Spearman秩相关系数为：1-6*(1+1+1+9)/(6*35)=0.6571

查阅秩相关系数检验的临界值表

n	显著水平
0.01	0.05
5	0.9	1
6	0.829	0.943
7	0.714	0.893

n=6时，0.6571<0.829，所以在0.01的显著水平下认为X和Y是不相关的。

如何原始数据中有重复值，则在求秩次时要以它们的平均值为准，比如：

原始X	秩次	调整后的秩次
0.8	5	5
1.2	4	(4+3)/2=3.5
1.2	3	(4+3)/2=3.5
2.3	2	2
18	1	1

相关性和相似度的区别

X=(1,2,3)跟Y=(4,5,6)的皮尔森相关系数等于1，说明X和Y是严格线性相关的（事实上Y=X+3）。

但是X和Y的相似度却不是1，如果用余弦距离来度量，X和Y之间的距离明显大于0。