红黑树（Red-Black tree）（插入与删除操作）

红黑树与平衡二叉树都是在二叉搜索树（Binary Sort Tree）的基础上而建立的。

前面讲了平衡二叉树（AVL），可以完美地实现将查找复杂度控制在O(logn)。但是AVL增加删除节点的时候，需要不断地判断左右树的高度差，这个频繁的操作降低了性能。为此提出了红黑树。什么样的树叫做红黑树呢？

红黑树需要满足以下五个性质（摘自算法导论）：

1、每个节点不是红的就是黑的；

2、根节点是黑的；

3、每个叶子节点（也就是树的尾端NULL节点）是黑的；

4、如果一个节点是红的，那么左右子树均为黑的（需要注意的一点是，两个红节点不可能连接在一起）

5、对于每个节点，从此节点到叶子的所有路径的黑色节点数目均相同。

在了解如何构建红黑树前，依据其性质，有以下三种情形（ps：补充了算法导论里面缺少的情况）时，需要对红黑树进行修正，我画了一章图如下：



假设插入节点的为x，初始化节点为红，则其上级节点为父节点p[x]，则上上级节点为祖节点p[p[x]]。则对此三种情形有以下描述：

case1：若父节点为红，且祖节点为黑，叔伯节点为红。这种情况下，祖节点变红，父节点与叔伯节点变黑。

case2：若父节点为红，祖节点为黑，不含有叔伯节点。如果是祖孙三代均在左，则右旋，父变为祖变黑，祖变为父的右子树，子变为父的左子树；如果是祖孙三代均在右，则左旋，父变为祖变黑，祖变为父的左子树，子变为父的右子树；

case3：若父节点为红，祖节点为黑，不含有叔伯节点，但父子树不在同一侧。则需要两次翻转，情形如图所示，不再赘述。

除了上面几种情形，可能旋转的时候含有左右节点的情况，有两种情况如下所示：



可以看出，上面节点的修正操作，与平衡二叉树（AVL）的操作类似，可以对比两者进行学习。

下面我们按照上面的描述生成一颗红黑树，插入的过程如下：



然后再插入13：



下面看一种较为复杂的情况，插入10的时候：



以上为插入生成一棵红黑树，下面来看下红黑树的删除节点的操作。

删除节点的时候，我们需要考虑待删除节点的颜色，删除红色节点的时候没有引起红黑树中各个性质的变化（就按照一般二叉查找树的删除进行）；

如果删除的节点是黑色节点，这种情形下会引起红黑树的变化，为了描述删除的过程，我们需要对待删除的节点增加一个颜色称为附加色，怎么添加这附加色呢？下面为颜色变化的情况：



当x为红色，y为黑色的时候，则x的组成为红+黑；当x与y均为黑的时候，x的组成色为黑+黑。

当删除的节点为红节点或者为红+黑节点时候，只需要将红节点染黑，然后删除即可，操作如下：



如果删除的黑+黑的节点，需要进行修复红黑树 ，其实总共有八种情况，但是这八种又是两两对称镜像的，所以挑出其中的四种情况如下：

case1：删除节点x的父节点为黑，其兄弟节点w为红，兄弟节点的子节点均为黑。

先染红父节点，以父节点左旋，兄弟节点w变黑并成为为祖节点，w节点的左子树变成新的w节点（new w），然后就将状态1转换到了状态2,3,4。

case2：删除节点父节点可以是红的也可以是黑的，兄弟节点为黑，兄弟节点的子节点均为黑。

去掉x的一重黑色，然后将兄弟节点w染成红色，然后将x的父节点当成新的x节点（new x）。如果是由case1进入case2，此时父节点为红色，所以new x的颜色为红+黑，因此将x染红，在循环结束的时候将new x染成黑色。

case3：删除节点父节点可以是红的也可以是黑的，兄弟节点为黑，兄弟节点的子节点左子树为红，右子树为黑。

以w为旋转点，进行右旋，w的左子树变为新的w节点（new w），并由红染黑，w节点变为new w节点的右子树并染成红色，w原来的右子树不发生改变。现在对于x的情况是父节点的颜色未知，当前的w节点也就是new w的右子树为红色，进入case4。

case4：删除节点x的父节点c颜色未知，w节点颜色为黑，w的右子树为红，左子树颜色未知。

使得w的颜色变为x的父节点c的颜色，然后使x的父节点的颜色为黑，w的右节点为黑。然后以父节点c左旋，然后去掉x多余的黑色变为单一的黑色。至此所有的操作完成，将x设为根后，循环结束。



以上就是我对红黑树插入的理解，如果有不对的地方，欢迎指出！