线性筛

今天在看了各种以及听了各种之后终于算是了解线性筛了…

虽然都是一些很基本的应用但还是觉得各种强大…

  

  

线性筛素数

代码

int tot_prime, prime[maxn];
bool vist[maxn];
void get_prime(){

for(int i = 2; i <= n; ++i){
if(!vist[i]) prime[++tot_prime] = i;
for(int j = 1; i * prime[j] <= n && j <= tot_prime; ++j){
vist[i*prime[j]] = true;
if(i % prime[j] == 0) break;
}
}

  

一些解释

第一次看到的时候就有一句话觉得很鬼畜…

if(i % prime[j] == 0) break;

果然这段代码最鬼畜的就是这句，今天在翻其他东西的时候偶然发现了这个：

这行代码神奇地保证了每个合数只会被它的最小素因子筛掉，就把复杂度降到了O(N)O(N)

接下来是证明这个算法正确性的说明：

prime[]prime[]数组中的素数是递增的，当ii能整除prime[j]prime[j]，那么i∗prime[j+1]i*prime[j+1]这个合数肯定被prime[j]prime[j]乘以某个数筛掉。

因为ii中含有prime[j]prime[j]，prime[j]prime[j]比prime[j+1]prime[j+1]小，即i=k∗prime[j]i=k*prime[j]，那么i∗prime[j+1]=(k∗prime[j])∗prime[j+1]=k′∗prime[j]i*prime[j+1]=(k*prime[j])*prime[j+1]=k'*prime[j]，接下去的素数同理。所以不用筛下去了。因此，在满足ii%prime[j]==0这个条件之前以及第一次满足改条件时，prime[j]prime[j]必定是prime[j]∗iprime[j]*i的最小因子

  

  

求欧拉函数

相关公式

x=Πpaiix=Πp_i^{a_i}

φ(x)=x−1 <x∈prime>φ(x)=x-1~

φ(x)=xΠ(1−1pi)=Π(pi−pai−1i)φ(x)=xΠ(1-\frac{1}{p_i})=Π(p_i-p_i^{a_i-1})

除此只外，欧拉函数还是积性函数，即φ(xy)=φ(x)φ(y) <gcd(x,y)=1>φ(xy)=φ(x)φ(y)~

  

代码

利用线性筛可以在线性时间内求得phi[i]

int tot_prime, prime[maxn], phi[maxn];
bool vist[maxn];
void get_prime(){

phi[1] = 1;
for(int i = 2; i <= n; ++i){
if(!vist[i]) prime[++tot_prime] = i, phi[i] = i - 1;
for(int j = 1; i * prime[j] <= n && j <= tot_prime; ++j){
vist[i*prime[j]] = true;
if(i % prime[j] == 0){
phi[i*prime[j]] = phi[i] * prime[j];
break;
}
else phi[i*prime[j]] = phi[i] * prime[j];
}
}

  

what’s more

但有时并不需要求1...x1...x的所有欧拉函数值，很多时候我们要求的都是一个比较大的数字x(x∈[1,109])x(x∈[1,10^9])的欧拉函数值

虽然不需要筛法求欧拉函数了，但根据公式，还是需要筛素数

以下是筛素数之后的代码

int phi(int x){

int rtn = 1, cpy_x = x;
for(int i = 1; prime[i] * prime[i] <= cpy_x && i <= tot_prime; ++i){

int temp = 1;
while(x % prime[i] == 0){
x /= prime[i];
temp *= prime[i];
}
if(temp > 1) rtn *= temp - temp / prime[i];
}
if(x > 1) rtn *= (x - 1); // 还剩下一个很大的质数

return rtn;
}

  

  

求约数的个数

相关公式

设f(x)f(x)为xx的约数的个数，还是把xx表示成x=Πpaiix=Πp_i^{a_i}的形式

f(x)=Π(ai+1)f(x)=Π(a_i+1)

f(x)=2 <x∈prime>f(x)=2~

发现f(x)f(x)也是积性函数，即f(xy)=f(x)f(y) <gcd(x,y)=1>f(xy)=f(x)f(y)~

  

代码

为了方便，让a[i]a[i]表示xx最小素数因子的个数

int tot_prime, prime[maxn];
int f[maxn], a[maxn];
bool vist[maxn];
void get_f(){

f[1] = 1;
for(int i = 2; i <= n; ++i){

if(!vist[i]) prime[++tot_prime] = i, f[i] = 2, a[i] = 1;
for(int j = 1; i * prime[j] <= n && j <= tot_prime; ++j){
vist[i*prime[j]] = true;
if(i % prime[j] == 0){
f[i*prime[j]] = f[i] / (a[i] + 1) * (a[i] + 2);
a[i*prime[j]] = a[i] + 1;
break;
}
else f[i*prime[j]] = f[i] * f[prime[j]], a[i*prime[j]] = 1;
}
}
}

  

一些解释

if(i % prime[j] == 0){
f[i*prime[j]] = f[i] / (a[i] + 1) * (a[i] + 2);
a[i*prime[j]] = a[i] + 1;
break;
}

当prime[j]prime[j]是ii的约数时，i∗prime[j]i*prime[j]就相当于ii多了一个最小素因子，根据之前的公式，所以转移如上。

else f[i*prime[j]] = f[i] * f[prime[j]], a[i*prime[j]] = 1;

当ii与prime[j]prime[j]互质时，由积性知f[]转移如上。

对于a[]的转移，我是这样理解的：

我们先假设i∗prime[j]i*prime[j]的最小素因子个数为1。

如果i∗prime[j]i*prime[j]的最小素因子是由ii提供的话，我们马上就会枚举到它的最小素因子，然后把a[i∗prime[j]]a[i*prime[j]]修改为正确的值。

否则i∗prime[j]i*prime[j]的最小素因子就是prime[j]prime[j]且不被ii包含。这是因为首先i mod prime[j]!=0i~mod~prime[j]!=0；其次，假设i∗prime[j]i*prime[j]的最小素因子在ii中，那么肯定早就

break

了，我们就不可能枚举到prime[j]prime[j]。

  

  

求莫比乌斯函数

相关公式

μ(x)=1 <x=1>μ(x)=1~

μ(x)=−1k<x=Πki=1pi,pi的次数为1>μ(x)=-1^k

μ(x)=0<其他情况>μ(x)=0<其他情况>

莫比乌斯函数同样是积性函数，即μ(xy)=μ(x)μ(y) <gcd(x,y)=1>μ(xy)=μ(x)μ(y)~。

  

代码

mu[1] = 1;
for(int i = 2; i <= n; ++i){
if(!vist[i]) prime[++tot_prime] = i, mu[i] = -1;
for(int j = 1; i * prime[j] <= n && j <= tot_prime; ++j)
vist[i*prime[j]] = true;
if(i % prime[j] == 0){
mu[i*prime[j]] = 0;
break;
}
else mu[i*prime[j]] = mu[i] * mu[prime[j]];
}

参考的内容：

线性筛（欧拉筛）

【数论内容】线性筛素数，线性筛欧拉函数，求前N个数的约数个数

莫比乌斯反演ppt by PoPoQQQ

xiaohao1大神的讲解与莫比乌斯反演pdf