概率论与数理统计(5)

一、样本, 总体, 统计量的概念

总体：是根究研究目的确定的具有相同性质的个体所构成的全体。总体可分为有限总体和无限总体。

样本：抽样时所抽得的部分就称为样本。

统计量是统计理论中用来对数据进行分析、检验的变量。宏观量是大量微观量的统计平均值，具有统计平均的意义，对于单个微观粒子，宏观量是没有意义的。

二、卡方分布, t分布, F 分布的定义及性质

卡方分布：

定义: 设 X1,X2,......Xn相互独立, 都服从标准正态分布N(0,1), 则称随机变量

所服从的分布为自由度为 n 的χ2分布.

期望E（χ2）=n 方差D(χ2)=2n

χ2分布具有可加性。若

，且二者相互独立，则

。

t分布：定义：设X1服从标准正态分布N(0,1)，X2服从自由度为n的χ2分布，且X1、X2相互独立，则称变量t

所服从的分布为自由度为n的t分布。

期望 E（T）=0 方差 D(T)=n/(n-2),n>2

F分布：定义:设X1服从自由度为m的χ2分布,X2服从自由度为n的χ2分布，且X1、X2相互独立，则称变量F=(X1/m)/(X2/n)所服从的分布为F分布，其中第一自由度为m，第二自由度为n.

性质：1.期望E(F)=n/(n-2)，方差D(F)=2n^2(m+n-2)/m(n-2)^2(n-4)

2.若F~F(m,n)，则1/F~F(n,m)

3.若F~F(1,n)，T~T(n)，则F=T^2

三、几个重要的抽样分布定理













四、参数估计

1．矩估计：

（1）根据参数个数求总体的矩；（2）令总体的矩等于样本的矩；（3）解方程求出矩估计

2．极大似然估计：

（1）写出极大似然函数；（2）求对数极大似然函数（3）求导数或偏导数；（4）令导数或偏导数为0，解出极大似然估计（如无解回到（1）直接求最大值，一般为min}{xi或max}{xi）

3．估计量的评选原则

(1)无偏性：若

，则为无偏； (2) 有效性：两个无偏估计中方差小的有效；

4．参数的区间估计（正态）



五、假设检验

一个正态总体假设检验的执行标准

1、提出待检假设H0

2、选择统计量

3、据检验水平a，确定临界值

4、计算统计量的值

5、作出判断

检验类型：未知方差

，检验总体期望(均值)μ

①根据题设条件，提出

；

②选择统计量

；

③据a和自由度n－1（n为样本容量），查表得

；

④由样本值算出

和

从而得到；

⑤作出判断