躧搿螞 解题报告
2015-07-07 22:02
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给定k,a,n,d
定义f(n)=∑i=1nik,g(n)=∑i=1nf(i)f(n)=\sum_{i=1}^ni^k,g(n)=\sum _{i=1}^nf(i)
求∑i=0ng(a+i∗d) mod 1234567891\sum_{i=0}^ng(a+i*d)\ mod \ 1234567891
多组数据。
T≤3T\le 3
1≤k≤123;0≤a,n,d≤1234567891\le k\le 123; 0\le a,n,d\le 123456789
时限:5s,空间限制:256MB
这个题当时考试的时候没时间做了,其实还是比较可做的。
看到这么一坨吃屎的式子,首先我们可以先试着求一求g(n)。g(n)=∑i=1n(n−i+1)ik=(n+1)∑i=1nik−∑i=1nik+1g(n)=\sum_{i=1}^n(n-i+1)i^k=(n+1)\sum_{i=1}^ni^k-\sum_{i=1}^ni^{k+1}
考虑∑xi=1ik\sum_{i=1}^xi^k这玩意儿显然可以用累加法递推求出来。
xk+1−(x−1)k+1=−∑j=1k+1(−1)jxk+1−jx^{k+1}-(x-1)^{k+1}=-\sum_{j=1}^{k+1}(-1)^jx^{k+1-j}
(x−1)k+1−(x−2)k+1=−∑j=1k+1(−1)jxk+1−j(x-1)^{k+1}-(x-2)^{k+1}=-\sum_{j=1}^{k+1}(-1)^jx^{k+1-j}
…
1k+1−0k+1=−∑j=1k+1(−1)j1^{k+1}-0^{k+1}=-\sum_{j=1}^{k+1}(-1)^j
将x个方程的左右两边相加,即可得到:
xk+1=−∑j=1k+1(−1)j∑i=1xik+1−jx^{k+1}=-\sum_{j=1}^{k+1}(-1)^j\sum_{i=1}^xi^{k+1-j},移项:∑i=1xik=(k+1)−1(xk+1+∑j=2k+1(−1)j∑i=1xik+1−j)\sum_{i=1}^xi^k=(k+1)^{-1}(x^{k+1}+\sum_{j=2}^{k+1}(-1)^j\sum_{i=1}^xi^{k+1-j})
这样的话,我们就可以递推出∑xi=1ik\sum_{i=1}^xi^k,注意到还需要用到逆元,所以求一个g的时间复杂度边是O(k2+klog2k)O(k^2+klog_2k),当然这并没有什么卵用(其实这是60分),然后我们继续化式子。ans=∑j=0n((a+j∗d+1)∑i=1a+j∗dik−∑i=1a+j∗dik+1)ans=\sum_{j=0}^n((a+j*d+1)\sum_{i=1}^{a+j*d}i^k-\sum_{i=1}^{a+j*d}i^{k+1})
注意到对于同一个形如∑xi=1ik\sum_{i=1}^xi^k的家伙,它其实等价于一个x的k+1次多项式,我们可以在O(k3+klog2k)O(k^3+klog_2k)的时间复杂度内搞出它的各项系数,所以我们不妨设其各项系数为{ak,k+1}\{a_{k,k+1}\},便可将上式化简为
ans=∑i=1k+1ak,i∑j=0n((a+j∗d+1)(a+j∗d)i)−∑i=1k+2ak+1,i∑j=0n(a+j∗d)ians=\sum_{i=1}^{k+1}a_{k,i}\sum_{j=0}^n((a+j*d+1)(a+j*d)^i)-\sum_{i=1}^{k+2}a_{k+1,i}\sum_{j=0}^n(a+j*d)^i=∑i=1k+1ai(∑j=0n(a+j∗d)i+1+∑j=0n(a+j∗d)i)−∑i=1k+2ak+1,i∑j=0n(a+j∗d)i=\sum_{i=1}^{k+1}a_i(\sum_{j=0}^n(a+j*d)^{i+1}+\sum_{j=0}^n(a+j*d)^i)-\sum_{i=1}^{k+2}a_{k+1,i}\sum_{j=0}^n(a+j*d)^i
系数我们已经可以求出来了,注意里面的式子,会发现它又是我们熟悉的形如(只是形如)∑xi=1ik\sum_{i=1}^xi^k的家伙,所以我们大可用同样的方法递推它,只是递推式变成了∑i=0n(a+j∗d)k=((k+1)d)−1((a+n∗d)k−(a−d)k+∑j=2k+1(−d)j∑i=0n(a+i∗d)k+1−j)\sum_{i=0}^n(a+j*d)^k=((k+1)d)^{-1}((a+n*d)^k-(a-d)^k+\sum_{j=2}^{k+1}(-d)^j\sum_{i=0}^n(a+i*d)^{k+1-j})
但是,真正需要注意的地方是d=0的时候!这个式子是没有意义的,也就是说d=0时不能用这个式子来求,应该单独讨论这种蛋疼的情况。
这样的话,我们就可以在O(k2+klog2P)O(k^2+klog_2P)的时间复杂度内求出这货了,然后回带回去即可,不过我们注意到k的范围比较小,所以我们可以预处理1~k的逆元,这样理论时间复杂度就降到了O(k3+log2k+Tk2+Tlog2d)≈106O(k^3+log_2k+Tk^2+Tlog_2d)≈10^6,哪怕k开到300都可以在1s以内快速出解,不知道为什么出题人把时限开到了5s。
代码:
总结:
①考试时不要思考一道题超过半小时!
②做模的时候一定要仔细想加减乘除是否会爆,每一步都可能跪!
③一定要给自己出卡范围、卡上下界的特殊数据!
定义f(n)=∑i=1nik,g(n)=∑i=1nf(i)f(n)=\sum_{i=1}^ni^k,g(n)=\sum _{i=1}^nf(i)
求∑i=0ng(a+i∗d) mod 1234567891\sum_{i=0}^ng(a+i*d)\ mod \ 1234567891
多组数据。
T≤3T\le 3
1≤k≤123;0≤a,n,d≤1234567891\le k\le 123; 0\le a,n,d\le 123456789
时限:5s,空间限制:256MB
这个题当时考试的时候没时间做了,其实还是比较可做的。
看到这么一坨吃屎的式子,首先我们可以先试着求一求g(n)。g(n)=∑i=1n(n−i+1)ik=(n+1)∑i=1nik−∑i=1nik+1g(n)=\sum_{i=1}^n(n-i+1)i^k=(n+1)\sum_{i=1}^ni^k-\sum_{i=1}^ni^{k+1}
考虑∑xi=1ik\sum_{i=1}^xi^k这玩意儿显然可以用累加法递推求出来。
xk+1−(x−1)k+1=−∑j=1k+1(−1)jxk+1−jx^{k+1}-(x-1)^{k+1}=-\sum_{j=1}^{k+1}(-1)^jx^{k+1-j}
(x−1)k+1−(x−2)k+1=−∑j=1k+1(−1)jxk+1−j(x-1)^{k+1}-(x-2)^{k+1}=-\sum_{j=1}^{k+1}(-1)^jx^{k+1-j}
…
1k+1−0k+1=−∑j=1k+1(−1)j1^{k+1}-0^{k+1}=-\sum_{j=1}^{k+1}(-1)^j
将x个方程的左右两边相加,即可得到:
xk+1=−∑j=1k+1(−1)j∑i=1xik+1−jx^{k+1}=-\sum_{j=1}^{k+1}(-1)^j\sum_{i=1}^xi^{k+1-j},移项:∑i=1xik=(k+1)−1(xk+1+∑j=2k+1(−1)j∑i=1xik+1−j)\sum_{i=1}^xi^k=(k+1)^{-1}(x^{k+1}+\sum_{j=2}^{k+1}(-1)^j\sum_{i=1}^xi^{k+1-j})
这样的话,我们就可以递推出∑xi=1ik\sum_{i=1}^xi^k,注意到还需要用到逆元,所以求一个g的时间复杂度边是O(k2+klog2k)O(k^2+klog_2k),当然这并没有什么卵用(其实这是60分),然后我们继续化式子。ans=∑j=0n((a+j∗d+1)∑i=1a+j∗dik−∑i=1a+j∗dik+1)ans=\sum_{j=0}^n((a+j*d+1)\sum_{i=1}^{a+j*d}i^k-\sum_{i=1}^{a+j*d}i^{k+1})
注意到对于同一个形如∑xi=1ik\sum_{i=1}^xi^k的家伙,它其实等价于一个x的k+1次多项式,我们可以在O(k3+klog2k)O(k^3+klog_2k)的时间复杂度内搞出它的各项系数,所以我们不妨设其各项系数为{ak,k+1}\{a_{k,k+1}\},便可将上式化简为
ans=∑i=1k+1ak,i∑j=0n((a+j∗d+1)(a+j∗d)i)−∑i=1k+2ak+1,i∑j=0n(a+j∗d)ians=\sum_{i=1}^{k+1}a_{k,i}\sum_{j=0}^n((a+j*d+1)(a+j*d)^i)-\sum_{i=1}^{k+2}a_{k+1,i}\sum_{j=0}^n(a+j*d)^i=∑i=1k+1ai(∑j=0n(a+j∗d)i+1+∑j=0n(a+j∗d)i)−∑i=1k+2ak+1,i∑j=0n(a+j∗d)i=\sum_{i=1}^{k+1}a_i(\sum_{j=0}^n(a+j*d)^{i+1}+\sum_{j=0}^n(a+j*d)^i)-\sum_{i=1}^{k+2}a_{k+1,i}\sum_{j=0}^n(a+j*d)^i
系数我们已经可以求出来了,注意里面的式子,会发现它又是我们熟悉的形如(只是形如)∑xi=1ik\sum_{i=1}^xi^k的家伙,所以我们大可用同样的方法递推它,只是递推式变成了∑i=0n(a+j∗d)k=((k+1)d)−1((a+n∗d)k−(a−d)k+∑j=2k+1(−d)j∑i=0n(a+i∗d)k+1−j)\sum_{i=0}^n(a+j*d)^k=((k+1)d)^{-1}((a+n*d)^k-(a-d)^k+\sum_{j=2}^{k+1}(-d)^j\sum_{i=0}^n(a+i*d)^{k+1-j})
但是,真正需要注意的地方是d=0的时候!这个式子是没有意义的,也就是说d=0时不能用这个式子来求,应该单独讨论这种蛋疼的情况。
这样的话,我们就可以在O(k2+klog2P)O(k^2+klog_2P)的时间复杂度内求出这货了,然后回带回去即可,不过我们注意到k的范围比较小,所以我们可以预处理1~k的逆元,这样理论时间复杂度就降到了O(k3+log2k+Tk2+Tlog2d)≈106O(k^3+log_2k+Tk^2+Tlog_2d)≈10^6,哪怕k开到300都可以在1s以内快速出解,不知道为什么出题人把时限开到了5s。
代码:
[code]#include<cstdio> #include<cstring> #include<cmath> #include<iostream> using namespace std; #include<algorithm> #define Mod 1234567891 typedef long long LL; LL pow(int a,int b){ LL ans=1,t=a; for(;b;b>>=1,t=t*t%Mod) if(b&1) ans=ans*t%Mod; return ans; } LL ni(int a){ return pow(a,Mod-2); } LL C[130][130]; LL xishu[130][130]; LL said[135]; int main(){ freopen("sum.in","r",stdin); freopen("sum.out","w",stdout); int k,i,j,T; for(i=0;i<130;++i)C[i][0]=1; for(i=1;i<130;++i) for(j=i;j;--j) C[i][j]=(C[i-1][j-1]+C[i-1][j])%Mod; xishu[0][1]=1; LL niyuan; int fu; for(k=1;k<130;++k){ fu=1; for(j=2;j<=k+1;++j,fu=-fu) for(i=k+1-j+1;i;--i) xishu[k][i]=(xishu[k][i]+fu*xishu[k-j+1][i]*C[k+1][j])%Mod; niyuan=ni(k+1); xishu[k][k+1]=1; for(j=k+1;j;--j)xishu[k][j]=(xishu[k][j]*niyuan%Mod+Mod)%Mod; } scanf("%d",&T); LL a,n,d,start,end,fac; LL ans; int K; while(T--){ scanf("%d%I64d%I64d%I64d",&K,&a,&n,&d); //said start=a,end=(a+n*d)%Mod; said[0]=n; for(k=1;k<=K+2;++k){ start=start*a%Mod,end=end*(a+n*d%Mod)%Mod; fu=1; said[k]=(end-start)%Mod; fac=d*d%Mod; for(j=2;j<=k+1;++j,fu=-fu,fac=fac*d%Mod)said[k]=(said[k]+fu*fac*C[k+1][j]%Mod*said[k+1-j])%Mod; said[k]=said[k]*ni((k+1)*d%Mod)%Mod; } if(d){ start=a; ++said[0]; for(k=1;k<=K+2;++k,start=start*a%Mod)said[k]=((said[k]+start)%Mod+Mod)%Mod; } else{ start=1; for(k=0;k<=K+2;++k,start=start*a%Mod)said[k]=(n+1)*start%Mod; } //cal first ans=0; for(i=1;i<=K+2;++i)ans=(ans+xishu[K+1][i]*said[i])%Mod; ans=Mod-ans; //cal second for(i=1;i<=K+1;++i)ans=(ans+xishu[K][i]*((said[i]+said[i+1])%Mod))%Mod; printf("%I64d\n",ans); } }
总结:
①考试时不要思考一道题超过半小时!
②做模的时候一定要仔细想加减乘除是否会爆,每一步都可能跪!
③一定要给自己出卡范围、卡上下界的特殊数据!
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