理论物理极础之插播数学2:积分
2015-07-07 14:16
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“乔治,我干事喜欢反着来。微分能反着来吗?”
“当然可以,莱尼,那就是积分。”
我们先画一个函数\(f(t)\)的图,如图1所示。
![](https://images0.cnblogs.com/blog2015/776104/201507/071412437831778.jpg)
积分的中心问题是计算函数\(f(t)\)曲线下面的面积。为了使这个问题显得更清楚,我们考虑一段函数,如\(t=a\)和\(t=b\)之间的函数,选取的自变量这两个值称为积分限。我们要计算图2中阴影部分的面积。
![](https://images0.cnblogs.com/blog2015/776104/201507/071412555336255.jpg)
要计算这个面积,我们把阴影部分分成很多很多纤薄的矩形(如图3),把这些小矩形的面积加起来,就是我们要求的面积。
![](https://images0.cnblogs.com/blog2015/776104/201507/071413038302321.jpg)
当然,这样得到的是近似结果,但是,当矩形的宽度趋于0,我们将得到准确结果。下面说一下计算步骤。第一步,把\(t=a\)和\(t=b\)之间的区域分成\(N\)个次区域,每个次区域的宽度为\(\Delta t\)。对于某个\(t\)处的小矩形,宽为\(\Delta t\),高为此处的函数值\(f(t)\),于是可得此处小矩形的面积为
\[\delta A =f(t)\Delta t\]
把所有的这些小矩形的面积加起来,就得到要求的阴影部分面积的近似值,
\[ A =\sum_i f(t_i)\Delta t\]
其中的大写希腊字母\(\Sigma\)表示求和,即把一系列用\(i\)标记的值加起来。比如\(N=3\),就有
\[ A =\sum_i f(t_i)\Delta t=f(t_1)\Delta t+f(t_2)\Delta t+f(t_3)\Delta t\]
这里\(t_i\)表示第\(i\)个小矩形在\(t\)轴上的位置。
\(\Delta t\)趋于0,小矩形数目\(N\)趋于无穷,求出此时小矩形面积和的极限,此即为要求的面积的准确值,也即是\(f(t)\)的定积分的定义,写为下式:
\[ A =\lim_{\Delta t \rightarrow 0}\sum_i f(t_i)\Delta t=\int_a^b f(t)dt\]
积分符号\(\int\)取代了求和符号,\(dt\)取代了\(\Delta t\),积分符号里面的函数\(f(t)\)称为被积函数。
把上式中的\(b\),换成\(T\),得到这样一个积分,
\[\int_a^T f(t)dt\]
把\(T\)看成一个变量,上式这个积分就是变量\(T\)函数(注意不是\(t\)的函数):
\[F(T)=\int_a^T f(t)dt\]
由一个给定的函数\(f(t)\),定义出一个新的函数\(F(T)\)。前面的\(a\)也是可以变的,这里我们不考虑这种情况。这个新的函数\(F(T)\)称为\(f(t)\)的不定积分。称为不定积分,因为我们不是从一个固定值积分到另一个固定值,而是积分到另一个变量。对于不定积分,我们通常不写上下限,写为如下形式:
\begin{equation}F(t)=\int f(t)dt\label{eq:infd}\end{equation}
微分和积分之间有深刻联系,如果\(F(t)=\int f(t)dt\),则有
\[f(t)=\frac{dF(t)}{dt}\]
这个联系就叫做微积分基本定理,下面我们说明一下这个结果的由来。变量\(T\)有个小的增量,从\(T\)变到\(T+\Delta t\),于是有个新的积分,
\[F(T+\Delta t)=\int_a^{T+\Delta t} f(t)dt\]
即在图3阴影部分\(t=T\)处新加了一块宽为\(\Delta t\)矩形,于是差\(F(T+\Delta t)-F(T)\)即为多出来的这块小矩形的面积,
\[F(T+\Delta t)-F(T)=f(T)\Delta t\]
两边除以\(\Delta t\),
\[\frac{F(T+\Delta t)-F(T)}{\Delta t}=f(T)\]
取极限\(\Delta t \rightarrow 0\),有:
\[\lim_{\Delta t \rightarrow 0}\frac{F(T+\Delta t)-F(T)}{\Delta t}=\frac{dF}{dT}=f(T)\]
换一下变量的符号,则有
\[\frac{dF(t)}{dt}=f(t)\]
这说明,积分和微分是逆运算,积分的导数即原被积函数。
知道\(F(t)\)的导数是\(f(t)\)就能完全确定\(F(t)\)吗?还不能完全确定,因为\(F(t)\)加上一个常数不改变它的导数。给定一个函数\(f(t)\),它的不定积分的函数形式是不定的,如果\(F(t)\)是\(f(t)\)的不定积分,\(F(t)\)加上任意常数之后,\(F(t)+C\)也是\(f(t)\)的不定积分。
下面我们说明一下微积分基本定理的应用。比如我们计算函数\(f(t)=t^n\)的积分,
\[F(t)=\int f(t)dt\]
根据微积分基本定理,有
\[f(t)=\frac{dF(t)}{dt}\]
即
\[t^n=\frac{dF(t)}{dt}\]
现在的任务就是找到一个函数\(F(t)\),它的导数是\(t^n\),这不是难事。
我们在上一章就已经知道,
\[\frac{d(t^m)}{dt}=mt^{m-1}\]
令\(m=n+1\),则有
\[\frac{d(t^{n+1})}{dt}=(n+1)t^n\]
两边除以\(n+1\),有
\[\frac{d(t^{n+1}/n+1)}{dt}=t^n\]
因此,\(t^n\)是\(\frac{t^{n+1}}{n+1}\)的导数,所以,
\[F(t)=\int t^ndt=\frac{t^{n+1}}{n+1}\]
再加上任意的常数,就得到\(t^n\)的不定积分,
\[\int t^ndt=\frac{t^{n+1}}{n+1}+C\]
积分常数\(C\)需要其他的条件来确定。
出现这个任意的常数是因为积分的一个积分限没有确定。如果我们选定另一个积分限,即前述的\(a\),由\(a\)就可以确定常数\(C\)。考虑积分
\[\int_a^Tf(t)dt\]
当两个积分限为同一点,即 \(T=a\),积分必为0,由此可确定积分常数\(C\)。
一般情形下的微积分基本定理写为如下形式:
\begin{equation}\int_a^b f(t)dt=F(t)\big |_a^b=F(b)-F(a)\label{eq:def}\end{equation}
另外一个表述方式是
\begin{equation}\int \frac{df}{dt}dt=f(t)+C\label{eq:const}\end{equation}
即对函数的导数积分得到原来的函数(加上一个任意常数)。
以下是几个有用的积分公式:
\[\int C dt=Ct+C'\] (注:原文漏掉第二个常数\(C'\))
\[\int Cf(t)dt=C \int f(t)dt\]
\[\int t dt=\frac{t^2}{2}+C\]
\[\int t^2 dt=\frac{t^3}{3}+C\]
\[\int t^ndt=\frac{t^{n+1}}{n+1}+C\]
\[\int \sin t dt =-\cos t +C\]
\[\int \cos t dt =\sin t +C\]
\[\int e^t dt = e^t +C\]
\[\int \frac{dt}{t} = \ln t +C\] (注:原文漏掉常数\(C\))
\[\int [f(t) \pm g(t)]dt = \int f(t)dt \pm \int g(t) dt \]
\[\frac{d[f(x)g(x)]}{dx}=f(x)\frac{dg(x)}{dx}+g(x)\frac{df(x)}{dx}\]
对上式两边进行积分,从\(x=a\)积到\(x=b\),
\[\int \frac{d[f(x)g(x)]}{dx}dx=\int f(x)\frac{dg(x)}{dx} dx + \int g(x)\frac{df(x)}{dx} dx\]
上式的左边比较容易,函数导数的积分是函数本身,即上式的左边为
\[f(b)g(b)-f(a)g(a)\]
常写为如下形式:
\[f(x)g(x)\vert_a^b\]
现在把右边其中一项移到左边,
\begin{equation}f(x)g(x)|_a^b-\int f(x)\frac{dg(x)}{dx} dx=\int g(x)\frac{df(x)}{dx} dx\label{eq:part}\end{equation}
现在考虑计算一个积分,被积函数恰好是一个函数\(f(x)\)与另外一个函数\(g(x)\)的导数的积,即方程(\ref{eq:part})右边的形式,如果直接积分没办法算,可以转换成方程(\ref{eq:part})左边的形式,如果运气好,左边的积分\(\int f(x)\frac{dg(x)}{dx} dx\)我们会算,那么方程(\ref{eq:part})右边的积分也就算出来了。
下面我们举个例子。比如计算如下积分:
\[\int_0^{\pi/2}x\cos x dx\]
注意到
\[\cos x = \frac{d\sin x}{dx}\],于是要求的积分变成
\[\int_0^{\pi/2}x \frac{d\sin x}{dx} dx\]
根据方程(\ref{eq:part}),上式结果为:
\begin{equation}\notag x \sin x \vert_0^{\pi/2}-\int_0^{\pi/2}\frac{dx}{dx}\sin x dx\end{equation}
也即
\begin{equation}\notag x\sin x|_0^{\pi/2}-\int_0^{\pi/2}\sin x dx\end{equation}
\(\int\_0^{\pi/2}\sin x dx\)我们会算,那么剩下的事情比较容易了,请自己完成。
你可能会问,分部积分这个技巧很常用吗?答案是:很常用,但不是每次都好用,看运气了。
“当然可以,莱尼,那就是积分。”
积分
微分处理的是变化率。积分做的是把许许多多微小的增量加起来求和。乍一看,微分与积分毫无关系,其实它们密切相关。我们先画一个函数\(f(t)\)的图,如图1所示。
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积分的中心问题是计算函数\(f(t)\)曲线下面的面积。为了使这个问题显得更清楚,我们考虑一段函数,如\(t=a\)和\(t=b\)之间的函数,选取的自变量这两个值称为积分限。我们要计算图2中阴影部分的面积。
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要计算这个面积,我们把阴影部分分成很多很多纤薄的矩形(如图3),把这些小矩形的面积加起来,就是我们要求的面积。
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当然,这样得到的是近似结果,但是,当矩形的宽度趋于0,我们将得到准确结果。下面说一下计算步骤。第一步,把\(t=a\)和\(t=b\)之间的区域分成\(N\)个次区域,每个次区域的宽度为\(\Delta t\)。对于某个\(t\)处的小矩形,宽为\(\Delta t\),高为此处的函数值\(f(t)\),于是可得此处小矩形的面积为
\[\delta A =f(t)\Delta t\]
把所有的这些小矩形的面积加起来,就得到要求的阴影部分面积的近似值,
\[ A =\sum_i f(t_i)\Delta t\]
其中的大写希腊字母\(\Sigma\)表示求和,即把一系列用\(i\)标记的值加起来。比如\(N=3\),就有
\[ A =\sum_i f(t_i)\Delta t=f(t_1)\Delta t+f(t_2)\Delta t+f(t_3)\Delta t\]
这里\(t_i\)表示第\(i\)个小矩形在\(t\)轴上的位置。
\(\Delta t\)趋于0,小矩形数目\(N\)趋于无穷,求出此时小矩形面积和的极限,此即为要求的面积的准确值,也即是\(f(t)\)的定积分的定义,写为下式:
\[ A =\lim_{\Delta t \rightarrow 0}\sum_i f(t_i)\Delta t=\int_a^b f(t)dt\]
积分符号\(\int\)取代了求和符号,\(dt\)取代了\(\Delta t\),积分符号里面的函数\(f(t)\)称为被积函数。
把上式中的\(b\),换成\(T\),得到这样一个积分,
\[\int_a^T f(t)dt\]
把\(T\)看成一个变量,上式这个积分就是变量\(T\)函数(注意不是\(t\)的函数):
\[F(T)=\int_a^T f(t)dt\]
由一个给定的函数\(f(t)\),定义出一个新的函数\(F(T)\)。前面的\(a\)也是可以变的,这里我们不考虑这种情况。这个新的函数\(F(T)\)称为\(f(t)\)的不定积分。称为不定积分,因为我们不是从一个固定值积分到另一个固定值,而是积分到另一个变量。对于不定积分,我们通常不写上下限,写为如下形式:
\begin{equation}F(t)=\int f(t)dt\label{eq:infd}\end{equation}
微分和积分之间有深刻联系,如果\(F(t)=\int f(t)dt\),则有
\[f(t)=\frac{dF(t)}{dt}\]
这个联系就叫做微积分基本定理,下面我们说明一下这个结果的由来。变量\(T\)有个小的增量,从\(T\)变到\(T+\Delta t\),于是有个新的积分,
\[F(T+\Delta t)=\int_a^{T+\Delta t} f(t)dt\]
即在图3阴影部分\(t=T\)处新加了一块宽为\(\Delta t\)矩形,于是差\(F(T+\Delta t)-F(T)\)即为多出来的这块小矩形的面积,
\[F(T+\Delta t)-F(T)=f(T)\Delta t\]
两边除以\(\Delta t\),
\[\frac{F(T+\Delta t)-F(T)}{\Delta t}=f(T)\]
取极限\(\Delta t \rightarrow 0\),有:
\[\lim_{\Delta t \rightarrow 0}\frac{F(T+\Delta t)-F(T)}{\Delta t}=\frac{dF}{dT}=f(T)\]
换一下变量的符号,则有
\[\frac{dF(t)}{dt}=f(t)\]
这说明,积分和微分是逆运算,积分的导数即原被积函数。
知道\(F(t)\)的导数是\(f(t)\)就能完全确定\(F(t)\)吗?还不能完全确定,因为\(F(t)\)加上一个常数不改变它的导数。给定一个函数\(f(t)\),它的不定积分的函数形式是不定的,如果\(F(t)\)是\(f(t)\)的不定积分,\(F(t)\)加上任意常数之后,\(F(t)+C\)也是\(f(t)\)的不定积分。
下面我们说明一下微积分基本定理的应用。比如我们计算函数\(f(t)=t^n\)的积分,
\[F(t)=\int f(t)dt\]
根据微积分基本定理,有
\[f(t)=\frac{dF(t)}{dt}\]
即
\[t^n=\frac{dF(t)}{dt}\]
现在的任务就是找到一个函数\(F(t)\),它的导数是\(t^n\),这不是难事。
我们在上一章就已经知道,
\[\frac{d(t^m)}{dt}=mt^{m-1}\]
令\(m=n+1\),则有
\[\frac{d(t^{n+1})}{dt}=(n+1)t^n\]
两边除以\(n+1\),有
\[\frac{d(t^{n+1}/n+1)}{dt}=t^n\]
因此,\(t^n\)是\(\frac{t^{n+1}}{n+1}\)的导数,所以,
\[F(t)=\int t^ndt=\frac{t^{n+1}}{n+1}\]
再加上任意的常数,就得到\(t^n\)的不定积分,
\[\int t^ndt=\frac{t^{n+1}}{n+1}+C\]
积分常数\(C\)需要其他的条件来确定。
出现这个任意的常数是因为积分的一个积分限没有确定。如果我们选定另一个积分限,即前述的\(a\),由\(a\)就可以确定常数\(C\)。考虑积分
\[\int_a^Tf(t)dt\]
当两个积分限为同一点,即 \(T=a\),积分必为0,由此可确定积分常数\(C\)。
一般情形下的微积分基本定理写为如下形式:
\begin{equation}\int_a^b f(t)dt=F(t)\big |_a^b=F(b)-F(a)\label{eq:def}\end{equation}
另外一个表述方式是
\begin{equation}\int \frac{df}{dt}dt=f(t)+C\label{eq:const}\end{equation}
即对函数的导数积分得到原来的函数(加上一个任意常数)。
以下是几个有用的积分公式:
\[\int C dt=Ct+C'\] (注:原文漏掉第二个常数\(C'\))
\[\int Cf(t)dt=C \int f(t)dt\]
\[\int t dt=\frac{t^2}{2}+C\]
\[\int t^2 dt=\frac{t^3}{3}+C\]
\[\int t^ndt=\frac{t^{n+1}}{n+1}+C\]
\[\int \sin t dt =-\cos t +C\]
\[\int \cos t dt =\sin t +C\]
\[\int e^t dt = e^t +C\]
\[\int \frac{dt}{t} = \ln t +C\] (注:原文漏掉常数\(C\))
\[\int [f(t) \pm g(t)]dt = \int f(t)dt \pm \int g(t) dt \]
练习1:求下列函数的不定积分:\[f(t)=t^4\] \[f(t)=\cos t\] \[f(t)=t^2-a\] |
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练习2:取积分限分别为\(t=0\)和\(t=T\),应用微积分基本定理重新计算练习1中的积分 |
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练习3:把练习1中的函数视为一个粒子的加速度的表达式,积分一次,得到粒子的速度,再积分一次,得到粒子的轨迹。wom我们取\(t\)为积分限,把函数的哑变量改为\(t'\),将函数从\(t'0\)积分到\(t'=t\),\[v(t)=\int_0^t t'^4 dt'\] \[v(t)=\int_0^t \cos t' dt'\] \[v(t)=\int_0^t (t'^2-a) dt'\] |
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分部积分
计算积分可以查表,或者用数学软件\(Mathematica\)。如果不得不手算,有个古老的技巧,非常有用,这就是分部积分。我们曾在上一章讲过两个函数的积的导数:\[\frac{d[f(x)g(x)]}{dx}=f(x)\frac{dg(x)}{dx}+g(x)\frac{df(x)}{dx}\]
对上式两边进行积分,从\(x=a\)积到\(x=b\),
\[\int \frac{d[f(x)g(x)]}{dx}dx=\int f(x)\frac{dg(x)}{dx} dx + \int g(x)\frac{df(x)}{dx} dx\]
上式的左边比较容易,函数导数的积分是函数本身,即上式的左边为
\[f(b)g(b)-f(a)g(a)\]
常写为如下形式:
\[f(x)g(x)\vert_a^b\]
现在把右边其中一项移到左边,
\begin{equation}f(x)g(x)|_a^b-\int f(x)\frac{dg(x)}{dx} dx=\int g(x)\frac{df(x)}{dx} dx\label{eq:part}\end{equation}
现在考虑计算一个积分,被积函数恰好是一个函数\(f(x)\)与另外一个函数\(g(x)\)的导数的积,即方程(\ref{eq:part})右边的形式,如果直接积分没办法算,可以转换成方程(\ref{eq:part})左边的形式,如果运气好,左边的积分\(\int f(x)\frac{dg(x)}{dx} dx\)我们会算,那么方程(\ref{eq:part})右边的积分也就算出来了。
下面我们举个例子。比如计算如下积分:
\[\int_0^{\pi/2}x\cos x dx\]
注意到
\[\cos x = \frac{d\sin x}{dx}\],于是要求的积分变成
\[\int_0^{\pi/2}x \frac{d\sin x}{dx} dx\]
根据方程(\ref{eq:part}),上式结果为:
\begin{equation}\notag x \sin x \vert_0^{\pi/2}-\int_0^{\pi/2}\frac{dx}{dx}\sin x dx\end{equation}
也即
\begin{equation}\notag x\sin x|_0^{\pi/2}-\int_0^{\pi/2}\sin x dx\end{equation}
\(\int\_0^{\pi/2}\sin x dx\)我们会算,那么剩下的事情比较容易了,请自己完成。
练习4:完成积分\(\int_0^{\pi/2}x\cos x dx\)的计算 |
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