牛顿迭代法

目前接触到的牛顿迭代法主要应用于两个方面:(1)方程求根问题(2)最优化问题。

1、求解方程。

并不是所有的方程都有求根公式，或者求根公式很复杂，导致求解困难。利用牛顿法，可以迭代求解。
原理是利用泰勒公式，在x0处展开，且展开到一阶，即f(x) = f(x0)+(x－x0)f'(x0)
求解方程f(x)=0，即f(x0)+(x-x0)*f'(x0)=0，求解x = x1=x0－f(x0)/f'(x0)，因为这是利用泰勒公式的一阶展开，f(x) = f(x0)+(x－x0)f'(x0)处并不是完全相等，而是近似相等，这里求得的x1并不能让f（x）=0，只能说f(x1)的值比f(x0)更接近f（x）=0，于是乎，迭代求解的想法就很自然了，可以进而推出x(n+1)=x(n)－f(x(n))/f'(x(n))，通过迭代，这个式子必然在f（x*）=0的时候收敛。整个过程如下图：




2、牛顿法用于最优化
在最优化的问题中，线性最优化至少可以使用单纯行法求解，但对于非线性优化问题，牛顿法提供了一种求解的办法。假设任务是优化一个目标函数f，求函数f的极大极小问题，可以转化为求解函数f的导数f'=0的问题，这样求可以把优化问题看成方程求解问题（f'=0）。剩下的问题就和第一部分提到的牛顿法求解很相似了。
这次为了求解f'=0的根，把f（x）的泰勒展开，展开到2阶形式：



这个式子是成立的，当且仅当 Δx 无线趋近于0。此时上式等价与：



求解：



得出迭代公式：



一般认为牛顿法可以利用到曲线本身的信息，比梯度下降法更容易收敛（迭代更少次数），如下图是一个最小化一个目标方程的例子，红色曲线是利用牛顿法迭代求解，绿色曲线是利用梯度下降法求解。



在上面讨论的是2维情况，高维情况的牛顿迭代公式是：



其中H是hessian矩阵，定义为：




高维情况依然可以用牛顿迭代求解，但是问题是Hessian矩阵引入的复杂性，使得牛顿迭代求解的难度大大增加，但是已经有了解决这个问题的办法就是Quasi-Newton methond，不再直接计算hessian矩阵，而是每一步的时候使用梯度向量更新hessian矩阵的近似.
3、牛顿迭代法应用
应用牛顿迭代法求解方根，只需要迭代几次便可以得到相当精确的结果。
首先设x^m=a，



因此应用牛顿迭代法我们可以快速寻找平方根，下面的这种方法可以很有效地求出根号a的近似值：首先随便猜想一个近似值x，然后不断令x等于x和a/x的平均数即(x+a/x)/2，迭代个六七次后x的值就已经相当精确了。(x+a/x)/2的迭代公式我们可以利用牛顿迭代法求解f(x)=x^2-a的0点的迭代公式推导出。

const double eps = 1e-6;

double sqrt(double x) {
    if(fabs(x) < eps) return 0.0;
    double result = x;
    double xhalf = 0.5 * result;
    int i = *(int*)&result;
    i = 0x5f375a86 - (i>>1);
    result = *(double*)&i;
    result = result * (1.5 - xhalf * result * result);
    result = result * (1.5 - xhalf * result * result);
    return 1.0 / result;
}