MIT线性代数--向量空间

AX=b的解与A的秩的关系

b属于A的列空间，方程的解不是一个子空间，而是子空间经过平移得到的一个空间，因为这个解是由特解和零空间的特殊解构成的

A是m*n的矩阵

(r<=m,矩阵的主元最多是m行都有，就是每一行都不为零，r<=n矩阵的主元最多有n列，每列都有主元）

A可以经过一系列行初等变换得到行最简型

r=m=n：A=I 只有唯一解，没有自由变量，即零空间中没有非零向量，可以表示该空间的所有向量

r=n<m：矩阵列满秩，没有自由变量，即零空间没有非零向量，解不可能有无穷多个，，但是不能表示所有的b,所以可能没有解

r=m<n：矩阵行满秩，有自由变量，零空间有非零向量，即有特殊向量构成方程的解，因此有无穷多解

r<m且r<n：可能有无穷多解也可能没有解

四种子空间（AX=0 若零空间有非零向量，则该列向量组线性无关；向量空间的基：该向量组列向量线性无关，由这些向量可以生成整个向量空间；秩的定义：主元的个数，向量空间的维数，并不是向量的维数）

（若向量个数小于向量的维数，则该向量组的列向量构成该向量空间的子空间的基，若向量个数大于向量的维数，则该向量组一定线性相关，因为零空间里有非零向量，这些向量也不能构成向量空间的基，线性无关的向量的个数是空间的维数）

A是m*n 的矩阵

列空间：是Rm的子空间 因为每个向量是m维向量 子空间的维数是r，经过初等列变换，得到的主列列数就是列空间的维数

零空间：是Rn的子空间 因为零空间是由该方程的解构成的，该方程的每个解的维数是n 子空间的维数是n-r

行空间：是Rm的子空间 子空间的维数是r 经过行初等变换，行空间没有变化（只是进行了各行的线性组合，列空间发生变化）这些行向量线性无关，且由这些行向量可以线性组合得到原来的行向量，所以这些行向量构成行空间的基

左零空间：是Rm的子空间 子空间的维数是m-r