傅立叶变换第1讲

本系列的目的：

作为计算机专业从业人员，痛感数学功底太差，而傅立叶变换在工程领域应用广泛，功能强大到爆，一直希望彻底弄明白傅立叶变换的计算和使用，写此文章一为交流，二为自勉，实为个人学习笔记，欢迎批评指正！

主要内容：

1. 正交函数列

2. 欧拉公式

一、正交函数列

定义 设gn(x)是定义在[a,b]上的函数(n=0,1,2,⋯),若对任意的m和n,gm(x)gn(x)在 [a,b]上可积,且有\mbox{定义 设}g_n(x)\mbox{是定义在}[a,b]\mbox{上的函数}(n=0,1,2,\cdots),\mbox{若对任意的}m和n,g_m(x)g_n(x)\mbox{在 }[a,b]\mbox{上可积,且有}

∫bagm(x)gn(x)dx=⎧⎩⎨⎪⎪0,m≠n∫bag2n(x)dx>0,m=n\int_a^bg_m(x)g_n(x)dx=\left \{\begin{eqnarray}
0,m\ne n\\
\int_a^bg_n^2(x)dx>0,m=n
\end{eqnarray} \right.

则称{gn(x)}是[a,b]上的正交函数列 则称\{g_n(x)\}是[a,b]上的正交函数列

证明：函数{1,sinx,cosx,sin2x,cos2x,⋯,sinnx,cosnx,⋯}是任意一个长度为2π的区间上的正交函数列。证明：函数\{1,sinx,cosx,sin2x,cos2x,\cdots,sinnx,cosnx,\cdots \}是任意一个长度为2\pi的区间上的正交函数列。

证: 首先，将1记为cos0x，则对任何m=1,2,⋯和n=0,1,2,⋯,有证:\ 首先，将1记为cos0x，则对任何m=1,2,\cdots和n=0,1,2,\cdots,有

===∫π−πsinmxcosnxdx12∫π−π[sin(m+n)x+sin(m−n)x]dx⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪−12[cos(m+n)xm+n+cos(m−n)xm−n]|π−π,m≠n−cos2mx4m|π−π,m=n0\begin{eqnarray}
&\int_{-\pi}^\pi sinmxcosnxdx\\
=&\frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}[sin(m+n)x+sin(m-n)x]dx\\
=&\left \{ \begin{array}{} -\frac{1}{2}[\frac{cos(m+n)x}{m+n}+\frac{cos(m-n)x}{m-n}]|_{-\pi}^{\pi},m \ne n\\
-\frac{cos2mx}{4m}|_{-\pi}^{\pi},m=n \end{array} \right.\\
=&0
\end{eqnarray}

注：主要运用三角函数，积化和差，同理

∫π−πcosnxsinmxdx=0\int_{-\pi}^{\pi}cosnxsinmxdx=0

其次，对任何m=1,2,⋯和n=1,2,⋯,有其次，对任何m=1,2,\cdots和n=1,2,\cdots,有

===∫π−πsinmxsinnxdx12∫π−π[cos(m−n)x−cos(m+n)x]dx⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪12[sin(m−n)xm−n−sin(m+n)xm+n]|π−π,m≠n12(x−sin2mx2m)|π−π,m=n{0,m≠nπ,m=n\begin{eqnarray}&\int_{-\pi}^{\pi}sinmxsinnxdx\\
=&\frac{1}{2} \int_{-\pi}^{\pi}[cos(m-n)x-cos(m+n)x]dx \\
=&\left \{ \begin{array}{} \frac{1}{2}[\frac{sin(m-n)x}{m-n}-\frac{sin(m+n)x}{m+n}]|_{-\pi}^{\pi},m\ne n\\
\frac{1}{2}(x-\frac{sin2mx}{2m})|_{-\pi}^{\pi},m=n \end{array} \right.\\
=&\left\{ \begin{array}{}0,m \ne n\\
\pi ,m=n \end{array} \right.
\end{eqnarray}

同理可证，对任何m=0,1,2,⋯和n=0,1,2,⋯,有同理可证，对任何m=0,1,2,\cdots和n=0,1,2,\cdots,有

===∫π−πcosmxcosnxdx12∫π−π[cos(m+n)x+cos(m−n)x]dx⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪12[sin(m+n)xm+n+sin(m−n)xm−n]|π−π,m≠n12[sin2mx2m+x]|π−π,m=n≠012[x+x]|π−π,m=n=0⎧⎩⎨⎪⎪0,m≠nπ,m=n≠02π,m=n=0\begin{eqnarray}&\int_{-\pi}^{\pi}cosmxcosnxdx\\
=&\frac{1}{2}\int_{-\pi}^\pi[cos(m+n)x+cos(m-n)x]dx\\
=&\left \{ \begin{array}{} \frac{1}{2}[\frac{sin(m+n)x}{m+n}+\frac{sin(m-n)x}{m-n}]|_{-\pi}^{\pi},m \ne n\\
\frac{1}{2}[\frac{sin2mx}{2m}+x]|_{-\pi}^{\pi},m=n \ne 0\\
\frac{1}{2}[x+x]|_{-\pi}^{\pi},m=n=0
\end{array} \right.\\
=&\left \{ \begin{array}{} 0,m \ne n\\
\pi ,m=n \ne 0\\
2\pi ,m=n=0 \end{array} \right.
\end{eqnarray}

所以，这组函数确是[−π,π]上的正交函数列所以，这组函数确是[-\pi ,\pi]上的正交函数列