01背包问题和完全背包问题

叙述一下：

01背包问题：

有N件物品和一个容量为V 的背包。放入第i件物品耗费的空间是Ci，得到的价值是Wi。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。

完全背包问题：

有N种物品和一个容量为V 的背包，每种物品都有无限件可用。放入第i种物品的耗费的空间是Ci，得到的价值是Wi。求解：将哪些物品装入背包，可使这些物品的耗费的空间总和不超过背包容量，且价值总和最大。

先放代码：

01背包问题：

for i 1..n   
  for v V..c[i]       
     f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]}

完全背包问题：

for i 1..n   
  for v c[i]..V       
     f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]}

解释一下：

这两段程序的不同之处在于v的枚举顺序。当然，如果不优化为一维，两种顺序都是可以的。但是：

01背包问题：

对于01背包问题，原转移方程实际上是

—–F[i,v] = max { F[i-1,v],F[i-1,v-c[i]]+w[i] }

优化空间后成为

—–F[v] = max { F[v],F[v-c[i]]+w[i] }

这就要求右面的F[v-c[i]]对应的是原F[i-1,v-c[i]]，那就需要当计算F[v]时，F[v-c[i]]不能被计算过，仅在此时与c[i]用或不用，这就保证了c[i]最多只是用了一次。从后往前枚举v，v必然在v-c[i]之前出现，因此F[v-c[i]]是原来的值。

完全背包问题：

对于01背包问题，原转移方程实际上是

—–F[i, v] = max { F[i-1, v],F[i,v-c[i]]+w[i] }

与上面不同的是，这里右边的后一项是F[i,v-c[i]]，这是因为只有这样，才能使F[i,v]成为有可能包含多次选择某一物品的状态。

优化空间后成为

—–F[v] = max { F[v],F[v-c[i]]+w[i] }

出于上面的要求，我们需要F[v-c[i]]的值有更新，所以需要从前往后枚举v，这样v-c[i]会比v更先得以计算，这样便满足了我们的要求。

实际上，程序中的F[ ]使用是一个滚动数组的运用，F[ ]的值会随循环而不断更新，因此可以通过调整v的枚举顺序去改变更新顺序，从而对01背包和完全背包的要求进行实现。

推荐参考的文章（01背包、完全背包、多重背包）