第2章 数字之魅——不要被阶乘吓倒
2015-07-02 09:48
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不要被阶乘吓倒
问题描述
阶乘(Factorial)是个很有意思的函数,但是不少人都比较怕它,我们来看看两个与阶乘相关的问题:问题1. 给定一个整数N,那么N的阶乘N!末尾有多少个0呢?例如:N=10,N!=3 628 800,N!的末尾有两个0。
问题2. 求N!的二进制表示中最低位1的位置。
分析与解法
有些人碰到这样的题目会想:是不是要完整计算出N!的值?如果溢出怎么办?事实上,如果我们从"哪些数相乘能得到10"这个角度来考虑,问题就变得简单了。首先考虑,如果N!= K×10M,且K不能被10整除,那么N!末尾有M个0。再考虑对N!进行质因数分解,N!=(2x)×(3y)×(5z)…,由于10 = 2×5,所以M只跟X和Z相关,每一对2和5相乘可以得到一个10,于是M = min(X, Z)。不难看出X大于等于Z,因为能被2整除的数出现的频率比能被5整除的数高得多,所以把公式简化为M = Z。
根据上面的分析,只要计算出Z的值,就可以得到N!末尾0的个数。
问题1【解法一】
代码如下:package chapter2shuzizhimei.jiecheng; /** * 不要被阶乘吓到 * 计算阶乘末尾有几个0 * 【解法一】 * @author Dell * */ public class JieCheng1 { /** * 计算阶乘末尾0的个数 * @param n 计算n! * @return 末尾0的个数 */ public static int count(int n){ int num = 0; //记录末尾0的数量,也即5的次方数(由于2的次方数>=5的次方数) for(int i=1;i<=n;i++){ int j = i; while(j%5==0){ num++; j /= 5; } } return num; } public static void main(String[] args) { int n = 10; System.out.println(n+"!末尾0的个数为:"+count(n)); } }
程序运行结果如下:
10!末尾0的个数为:2
问题1【解法二】
代码如下:package chapter2shuzizhimei.jiecheng; /** * 不要被阶乘吓到 * 计算阶乘末尾有几个0 * 【解法二】 * @author Dell * */ public class JieCheng2 { /** * 计算阶乘末尾0的个数 * @param n 计算n! * @return 末尾0的个数 */ public static int count(int n){ int num = 0; //记录末尾0的数量,也即5的次方数(由于2的次方数>=5的次方数) while(n!=0){ num += n/5; n = n/5; } return num; } public static void main(String[] args) { int n = 10; System.out.println(n+"!末尾0的个数为:"+count(n)); } }
程序运行结果如下:
10!末尾0的个数为:2
问题2:求N!的二进制表示中最低位1的位置
分析与解法:
乍一看,似乎,问题二与问题一没什么关系。然而,我们换一个角度思考,二进制中最低位1后面肯定是0,那么这里求最低位1的位置,即为求最低位1后面0的个数,而这,就和问题一是一样一样的,只不过一个是十进制表,一个是二进制表示。这里,所有小于N的数中,2的倍数都贡献一个0,4的倍数再贡献一个0,以此类推。最关键:由于二进制表示其实是以2为基的表示,每出现一个2,末尾才会有一个0。所以只要找到N!中因子2的个数。
所以,这个问题实际上等同于求N!含有质因数2的个数。即答案等于N!含有质因数2的个数加1。
由于N! 中含有质因数2的个数,等于 N/2 + N/4 + N/8 + N/16 + … ,根据上述分析,得到具体算法,如下所示:
package chapter2shuzizhimei.jiecheng; /** * 不要被阶乘吓倒 * 【问题二】求n!的二进制表示中最低位1的位置 * 【解法一】 * @author DELL * */ public class JieCheng1 { /** * 计算n!的二进制表示中最低位1的位置 * @param n * @return 位置(从后向前数) */ public static int locate(int n){ int num = 1; //记录n!中质因数2的个数+1 while(n!=0){ n >>= 1; num += n; } return num; } public static void main(String[] args) { int n = 3; System.out.println("n!的二进制表示中最低位1的位置为:"+locate(n)); } }
程序运行结果如下:
n!的二进制表示中最低位1的位置为:2
【问题2的解法二】
N!含有质因数2的个数,还等于N减去N的二进制表示中1的数目。我们还可以通过这个规律来求解。下面对这个规律进行举例说明,假设 N = 11011(二进制表示),那么N!中含有质因数2的个数为 N/2 + N/4 + N/8 + N/16 + …
即: 1101 + 110 + 11 + 1
=(1000 + 100 + 1)
+(100 + 10)
+(10 + 1)
+ 1
=(1000 + 100+ 10 + 1)+(100 + 10 + 1)+ 1
= 1111 + 111 + 1
=(10000 -1)+(1000 - 1)+(10-1)+(1-1)
= 11011-N二进制表示中1的个数
于是有如下算法:
package chapter2shuzizhimei.jiecheng; /** * 不要被阶乘吓倒 * 【问题二】求n!的二进制表示中最低位1的位置 * 【解法二】 * @author DELL * */ public class JieCheng2 { /** * 计算n!的二进制表示中最低位1的位置 * @param n * @return 位置(从后向前数) */ public static int locate(int n){ int m = n; int num = 0; //记录n的二进制表示中1的个数 while(m!=0){ num += m&0x01; m >>= 1; } return n-num+1; } public static void main(String[] args) { int n = 3; System.out.println("n!的二进制表示中最低位1的位置为:"+locate(n)); } }
程序运行结果如下:
n!的二进制表示中最低位1的位置为:2
小结
任意一个长度为m的二进制数N可以表示为N = b[1] + b[2] * 2 + b[3] * 22 + … + b[m] * 2(m-1),其中b [ i ]表示此二进制数第i位上的数字(1或0)。所以,若最低位b[1]为1,则说明N为奇数;反之为偶数,将其除以2,即等于将整个二进制数向低位移一位。相关题目
给定整数n,判断它是否为2的方幂(解答提示:n>0&&((n&(n-1))==0))。该题目实际就是判断n的二进制表示中是否只有一个1,比较好的算法如下:
package chapter2shuzizhimei.jiecheng; /** * 不要被阶乘吓倒 * 【相关问题】给定整数n,判断它是否为2的方幂 * @author DELL * */ public class JieCheng3 { /** * 判断n是否为2的方幂 * @param n * @return */ public static boolean isThePower2(int n){ if(n>0&&(n&(n-1))==0){ return true; }else{ return false; } } public static void main(String[] args) { int n = 5; if(isThePower2(n)) System.out.println(n+"是2的方幂!"); else System.out.println(n+"不是2的方幂!"); } }
程序运行结果如下:
5不是2的方幂!
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