埃及分数问题 - 迭代加深搜索经典问题

埃及分数问题：

在古埃及，人们使用单位分数的和（即1/a, a是自然数）表示一切有理数。例如2/3 = 1/2 + 1/6，但不允许2/3 = 1/3 + 1/3，因为在加数中不允许有相同的。

对于一个分数a/b，表示方法有很多种，其中加数少的比加数多的好，如果加数个数相同，则最小的分数越大越好。例如，19/45 = 1/5 + 1/6 + 1/18是最优方案。

输入整数a，b(0 < a < b < 500)，试编程计算最佳表达式。

理论上可以用回溯法求解，但是如果用宽度优先遍历，连一层都拓展不完（因为每一层都是无限大的）

解决方案是采用迭代加深搜索：从小到大枚举深度上限maxd，每次执行只考虑深度不超过maxd的结点。这样，只要解的深度有限，则一定可以在有限时间内枚举到。

代码：

// 埃及分数问题
// Rujia Liu

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cassert>
using namespace std;

int a, b, maxd;

typedef long long LL;

LL gcd(LL a, LL b) {
return b == 0 ? a : gcd(b, a%b);
}

// 返回满足1/c <= a/b的最小c
inline int get_first(LL a, LL b) {
return b / a + 1;
}

const int maxn = 100 + 5;

LL v[maxn], ans[maxn];

// 如果当前解v比目前最优解ans更优，更新ans
bool better(int d) {
for (int i = d; i >= 0; i--) if (v[i] != ans[i]) {
return ans[i] == -1 || v[i] < ans[i];
}
return false;
}

// 当前深度为d，分母不能小于from，分数之和恰好为aa/bb
bool dfs(int d, int from, LL aa, LL bb) {
if (d == maxd) {
if (bb % aa) return false; // aa/bb必须是埃及分数
v[d] = bb / aa;
if (better(d)) memcpy(ans, v, sizeof(LL) * (d + 1));
return true;
}
bool ok = false;
from = max(from, get_first(aa, bb)); // 枚举的起点
for (int i = from;; i++) {
// 剪枝：如果剩下的maxd+1-d个分数全部都是1/i，加起来仍然不超过aa/bb，则无解
if (bb * (maxd + 1 - d) <= i * aa) break;
v[d] = i;
// 计算aa/bb - 1/i，设结果为a2/b2
LL b2 = bb*i;
LL a2 = aa*i - bb;
LL g = gcd(a2, b2); // 以便约分
if (dfs(d + 1, i + 1, a2 / g, b2 / g)) ok = true;
}
return ok;
}

int main() {
int kase = 0;
while (cin >> a >> b) {
int ok = 0;
for (maxd = 1; maxd <= 100; maxd++) {
memset(ans, -1, sizeof(ans));
if (dfs(0, get_first(a, b), a, b)) { ok = 1; break; }
}
cout << "Case " << ++kase << ": ";
if (ok) {
cout << a << "/" << b << "=";
for (int i = 0; i < maxd; i++) cout << "1/" << ans[i] << "+";
cout << "1/" << ans[maxd] << "\n";
}
else cout << "No solution.\n";
}
return 0;
}