THUSC2015

这些题目在BZOJ上面有，可惜是权限题。话说BZOJ上面的题目真的挺好的，要不是我穷，早就去弄个号了！

言归正传，今年的题目难度可以由一个名人名言看出：


可是我掂量了一下，发现如果自己去的话，估计就没什么好果子了。估计只能拿个\(100+10+40=150\)分了，: (。

异或运算

对于每个询问，最基本的思路就是从高位到低位确定答案（因为异或元素位与位之间不影响）。

举个例子，如果询问第\(k\)大，那么首先确定最高位，我们可以统计这个询问的矩形里面最高位是\(0\)个数字个数，假设是\(x\)，那么如果\(x \leq k\)，则最高位是\(0\)，否则是\(1\)。如法炮制，我们就能算出这个答案了。

看数据范围，发现\(n\)和\(p\)非常小（这很容易萌生暴搞的想法），我们要做的是，求在询问矩形里，形如YYYYYXXX的数字的数量，其中Y表示答案的最高的已知的几位，X则是任意的\(0\)或\(1\)。由于\(n\)很小，这里我们可以把矩形拆成一行一行的横条状，我们分开统计每一行。

这样我们的问题就变为，在\(Y\)序列的某段区间里，形如ZZZZZXXX的数量，其中Z是对应的Y与\(X_i\)的异或值(\(i\)表示是第几行)，X的含义同上。这样的话，我们可以排序然后二分，或者是使用可持久化字母树。

时间复杂度：\(O(60 m \log m + 60 n p\log m)\)（排序二分）

\(O(60m + 60^2np)\)（字母树）

平方运算

这个应该是最难的一题了吧（对我而言？？）。

由于\(p\)是给出的，打个表就能发现一些奇怪的性质。这里我用一副图（\(p=233\)）展示：图片像素太大，不妨下载下来放大看。



可以发现，整个图是若干连通块，对于一个连通块来说，是一个环加上周围的若干棵树。由于我没写过，听被人说所有环的长度的最小公倍数在\(60\)左右，每个点到环的距离在\(20\)左右。

假设一开始所有的数都在环上，我们可以维护一个线段树，每个结点记下该区间被修改\(k\)次后，该区间所有数的和，其中\(k\)取决于所有环的长度的最小公倍数。这样，时间复杂度为：\(O(60n\log n)\)，这里\(k\)当\(60\)算。

现在由于有些数不在环上，我们暴力改并维护线段树就好，因为对于一个数而言，暴力改的次数在\(20\)左右。

解密运算

这题的代码短得吓人！THUSC居然有这样的题。

假设所有的数不同，那么就是水题一道，因为我们能轻易地算出第一列，同时由知道最后一列，那么我们就知道了每个数字后一个是什么数字。接着，从\(0\)开始就能推导出答案。

但是，如果有相同的，举个例子：

0 * * 1
1 * * 0
1 * * 2
2 * * 1

*

表示尚未知的数字。

我们并不知道跟在第二行的\(0\)后面的\(1\)究竟是第一行最后一个\(1\)，还是第四行最后一个。

我们可以这么想：

对于下面的情况，最后一列究竟是怎样的。

1(1) ...... 1(2) ...
1(2) ... 1(1) ......

括号里边的是唯一的标识。

我们可以把第一列移到最后一列，得到的新的行，并且这样的行一定存在。这样我们就发现了：对于同一个数字，相对的位置还是不变的。对于最初的例子来说，第二行的\(0\)后面的\(1\)就是第一行最后一个\(1\)。

...... 1(2) ... 1(1)
... 1(1) ...... 1(2)

这样，相同的数字其实“不相同”，我们可以加上唯一的标识，那就跟所有数字不相同的做法一样了。

到此，我们就搞定的THUSC的题目了。你觉得它有NOI的难度吗？