hdu5275 (插值法)

首先要明确，所谓插值，就是多项式的点值表达式转系数表达式。

对于n个x不相同的点(xi,yi),可以唯一确定一个阶为n的多项式y=c0+c1∗x+c2∗x2+c3∗x3+...+cn−1∗xn−1 y=c_0+c_1*x+c_2*x^2+c_3*x^3+...+c_{n-1}*x^{n-1}

一般的，有两种常用的插值方法：

1.拉格朗日插值法

直接构造多项式y=∑k=0n−1yk∏j≠k(xj−xk)∏j≠k(x−xj)y=\sum^{n-1}_{k=0}\frac{y_k}{\prod_{j\ne k}(x_j-x_k)}\prod_{j\ne k}(x-x_j)

简单粗暴，证明只需要把x0,x1,..xn−1x_0,x_1,..x_{n-1}带入，看对应y值是否与给定的相同就可以了

2.牛顿插值

虽然拉格朗日插值法比较简单也便于记忆，但对于一些要对子串进行插值的题目，牛顿插值显然更加方便

令y=c0+c1∗(x−x0)+c2∗(x−x1)∗(x−x0)+...cn−1∗(x−x0)∗...∗(x−xn−2)y=c_0+c_1*(x-x_0)+c_2*(x-x_1)*(x-x_0)+...c_{n-1}*(x-x_0)*...*(x-x_{n-2})

注意对于x0,x1..xn−1x_0,x_1..x_{n-1}进行插值，上式并不包含xn−1x_{n-1},而计算c0,c1...cn−1c_0,c_1...c_{n-1}的方法就是分别把(x0,y0),(x1,y1)...(xn−1,yn−1)(x_0,y_0),(x_1,y_1)...(x_{n-1},y_{n-1})代入，看上去很麻烦，但是引入差商表之后，cic_i的计算显得异常容易。

定义xi的0阶差商为yi,xi的k阶差商f(i,k)=f(i+1,k−1)−f(i,k−1)xi+k−xix_i的0阶差商为y_i,x_i的k阶差商f(i,k)=\frac{f(i+1,k-1)-f(i,k-1)}{x_{i+k}-x_i}

根据定义进行计算可以发现c0,c1...cic_0,c_1...c_i其实就是f(0,0),f(0,1)...f(0,i)f(0,0),f(0,1)...f(0,i)

更进一步的，假如你想对(xl,yl),(xl+1,yl+1)...(xr,yr)(x_l,y_l),(x_{l+1},y_{l+1})...(x_{r},y_{r})

对应插值所得的系数就是f(l,0),f(l,1)...f(l,r−l)f(l,0),f(l,1)...f(l,r-l)

对于上面插值的理解，可以参考我hdu5275的代码

首先是很适合给子串插值的牛顿插值

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long Int;
const int M=1e9+7;
int rev[250002];
int dp[3002][3002];
int x[3002],y[3002];
inline int getrev(int x){return x<0?-rev[-x]:rev[x];}
int main()
{
rev[1]=1;
for(int i=2;i<=250000;i++)rev[i]=(M-M/i)*(Int)rev[M%i]%M;
int n;
while(scanf("%d",&n)!=EOF)
{
for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d%d",x+i,y+i);
for(int i=1;i<=n;i++)dp[0][i]=y[i];
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j+i<=n;j++)
dp[i][j]=((dp[i-1][j+1]-dp[i-1][j])*(Int)getrev(x[i+j]-x[j])%M+M)%M;
int m;scanf("%d",&m);
while(m--)
{
int l,r,q;scanf("%d%d%d",&l,&r,&q);
int ans=0,cur=1;
for(int i=0;i<=r-l;i++)
{
ans+=dp[i][l]*(Int)cur%M;
if(ans>=M)ans-=M;
cur=(cur*(Int)(q-x[l+i])%M+M)%M;
}printf("%d\n",ans);
}
}
}

然后是拉格朗日插值法，对于本题需要一些观察和技巧

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int Maxn=3002,M=1e9+7;
typedef long long Int;
int x[Maxn],y[Maxn];
int n,m;
int dp[Maxn][Maxn];
int rev[250002],frev[250002];
int powmod(int x,int y)
{
int t=x,ret=1;
while(y)
{
if(y&1)ret=ret*(Int)t%M;
y>>=1;
t=t*(Int)t%M;
}
return ret;
}
inline int getrev(int x)
{
if(x<0)return frev[-x];
return rev[x];
}
int main()
{
for(int i=1;i<=250000;i++)rev[i]=powmod(i,M-2),frev[i]=powmod(M-i,M-2);
while(scanf("%d",&n)!=EOF)
{
for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d%d",x+i,y+i);
scanf("%d",&m);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
dp[i][i]=1;
for(int j=i-1;j>=1;j--)dp[i][j]=dp[i][j+1]*(Int)getrev(x[i]-x[j])%M;
for(int j=i+1;j<=n;j++)dp[i][j]=dp[i][j-1]*(Int)getrev(x[i]-x[j])%M;
}
while(m--)
{
int l,r,q;
scanf("%d%d%d",&l,&r,&q);
int cs=-1,ans=0;
int tot=1;
for(int i=l;i<=r;i++)
{
if(x[i]!=q)tot=((q-x[i])*(Int)tot%M+M)%M;
else{cs=i;}
}
if(cs!=-1)
{
ans=y[cs]*(Int)dp[cs][l]%M*dp[cs][r]%M*tot%M;
}
else
{
for(int k=l;k<=r;k++)
{
ans+=y[k]*(Int)dp[k][l]%M*dp[k][r]%M*tot%M*getrev(q-x[k])%M;
if(ans>=M)ans-=M;
}
}printf("%d\n",ans);
}
}
}