动态规划

动态规划（DP）是一种解决复杂问题特别是主问题包含重复子问题的常用算法思想。它将待求解问题分解成若干子问题，先求解子问题，然后再从子问题中得到原问题的解。不同于分治法，动态规划的子问题常常不是互相独立的，下一阶段的求解建立在上一阶段的解的基础上进行的。

利用动态规划求解问题的有效性 依赖于问题本身具有的两个重要性质，也就是如果待解决问题具有以下两个性质，就可以考虑使用动态规划求解。

1 最优子结构：问题的最优解包含了其子问题的最优解。

2 重叠子问题：在求解过程中，如使用递归自顶向下求解问题时，每次产生子问题并不总是新的，有的被重复计算多次，故需要将子问题的解保存下来，供以后直接使用。这种思 想又叫“记表备查”，将求解过程中的最优值保存在决策表中。

求斐波那契数列问题。1 2 3 5 8 13..... f(n) = f(n - 1) + f(n - 2) f(1) = 1, f(2) = 2

使用递归如下：

int Fbnaci(int n) {
if(n == 1)
return 1;
if(n == 2)
return 2;
if(n > 2)
return Fbnaci(n - 1) + Fbnaci(n - 2);
}

上述代码虽然简洁，但是相当费时，因为有着大量重复问题的计算。如计算f(10)需要计算f(9) 和 f(8) 计算f(9)时又需要计算f(8) .使用动态规划的实现如下：

int Fbnaci(int n) {
int i,*a;
if(n==1)
return 1;
if(n==2)
return 2;
if(n>2)
{
a=(int *)malloc(sizeof(int)*n);
a[0]=1;
a[1]=2;
for(i=2;i<n;i++)
a[i]=a[i-1]+a[i-2];
return a[n-1];
}
}

以上代码虽然比前面递归的代码量大，但是使用数组保存了中间结果，以后调用时不必再计算，直接使用数组值就可以，从而大大减少了运算时间。（空间换时间）

求（LCS）最大公共子序列问题。

给定两个字符串，求它们共同的最长子序列，（不一定连续）。

对于字符串 X = {x1,x2,...,xm}, Y = {y1,y2,...,yn } 求 Z = {z1,z2,....zk } 其中 zi 同时在字符串X和Y中，且顺序保持不变。

如 X = “ABCBDAB” Y="BDCABA " 最长公共子序列为 BCBA 和 BDAB

最优子结构性质：

1 若 x(m) = y(n) 则 z(k) = x(m) = y(n) 且 {Zk-1} 是 {Xm-1} 和 {Yn-1}的最长公共子序列。

2 若 x(m) != y(n) 且 z(k) != x(m) 则 {Zk} 是{Xm-1}和{Yn} 的最长公共子序列

3 若 x(m) != y(n) 且 z(k) != y(n) 则 {Zk} 是{Yn-1}和{Xm} 的最长公共子序列

简单来说，如果X和Y的最后一个元素相同，则最后一个元素肯定在Z中且是最长子序列的最后一个元素。那么Z的长度为{Xm-1} 和 {Yn-1}的最长公共子序列的长度 + 1

否则最长公共子序列的长度为 ： max{ length(Xm-1,Yn) , length(Xm,Yn-1)}

用 数组 c[ i ][ j ]记录X[ 0 ~ i ] 与 Y[ 0 ~ j ] 的最长公共子序列的长度 则：

c[i][j] = 0 if i = 0, j = 0;

= c[i-1][j-1] + 1
else if xi = yj

= max{ c[i][j-1] ,c[i-1][j] } else if xi != yj

以 X = “ABCBDAB” Y="BDCABA " 为例，求得矩阵C如下：(参考算法导论)



其中箭头方向表示当前子问题的解（箭尾） 由上一个子问题（箭头）的最优解得来。

如 c[2][1] = c[1][0] +1 得来；表示i= 2 ,j = 1 时 x2 = y1 = ‘B’ ,则当前子问题最长子序列长度 = 上一子问题最长子序列长度 + 1；其余类似。

具体代码如下：

// Length of LCS
int LCSLength(int m,int n,const char x[],char y[])
{
int i,j;
for(i = 1; i <= m; i++)//初始第一行
c[i][0] = 0;
for(j = 1; j <= n; j++)//初始第一列
c[0][j] = 0;
for(i = 1; i <= m; i++)
{
for(j = 1; j <= n; j++)
{
if(x[i-1] == y[j-1])  //相等
{
c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1;
b[i][j] = 1;
}
else if(c[i-1][j] >= c[i][j-1])
{
c[i][j] = c[i-1][j];
b[i][j] = 2;
}
else
{
c[i][j] = c[i][j-1];
b[i][j] = 3;
}
}
}
return c[m]
;
}
//根据数组b内容打印x和y的最大公共子序列
void LCSprint(int i,int j,char x[])
{
if(i == 0 || j == 0)
return;
if(b[i][j] == 1)
{
//	printf("%c",x[i-1]);
LCSprint(i-1,j-1,x);
printf("%c",x[i]);

}
else if(b[i][j] == 2)
LCSprint(i-1,j,x);
else
LCSprint(i,j-1,x);
}

注意以上代码中字符串下标从1 开始。

数塔问题：

给定数字三角形，计算从顶至底的某一条路径使该路径所经过的数字的总和最大。



使用二维数组存储上述数据

7

3 8

8 1 0

2 7 4 4

逆向思考，从倒数第二层算起，分别计算每一层所有元素可能达到的最大值，从下往上进行，到第一行时就得到路径最大值。

状态转移方程：C[ i ] [ j ] + = max{ C[ i+1] [ j ] ， C[ i+1] [ j +1] }