组合数的奇偶性

结论：

对于C(n,k),若n&k == k 则c(n,k)为奇数，否则为偶数。

证明：

利用数学归纳法：

由C(n,k) = C(n,k-1) + C(n-1,k-1);

对应于杨辉三角：

1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

………………

可以验证前面几层及k = 0时满足结论，下面证明在C(n-1,k)和C(n-1,k-1) (k > 0) 满足结论的情况下，C(n,k)满足结论。

1).假设C(n-1,k)和C(n-1,k-1)为奇数：

则有：(n-1)&k == k;

(n-1)&(k-1) == k-1;

由于k和k-1的最后一位(在这里的位指的是二进制的位，下同)必然是不同的，所以n-1的最后一位必然是1。

现假设n&k == k。

则同样因为n-1和n的最后一位不同推出k的最后一位是1。

因为n-1的最后一位是1，则n的最后一位是0，所以n&k != k，与假设矛盾。

所以得n&k != k。

2).假设C(n-1,k)和C(n-1,k-1)为偶数：

则有：(n-1)&k != k;

(n-1)&(k-1) != k-1;

现假设n&k == k.

则对于k最后一位为1的情况：

此时n最后一位也为1，所以有(n-1)&(k-1) == k-1，与假设矛盾。

而对于k最后一位为0的情况：

则k的末尾必有一部分形如：1{0}0; {0}代表任意个0。

相应的，n对应的部分为： 1{}; *代表0或1。

而若n对应的{}中只要有一个为1，则(n-1)&k == k成立，所以n对应部分也应该是1{0}0。

则相应的，k-1和n-1的末尾部分均为0{1}1,所以(n-1)&(k-1) == k-1 成立，与假设矛盾。

所以得n&k != k。

由1)和2)得出当C(n,k)是偶数时，n&k != k。

3).假设C(n-1,k)为奇数而C(n-1,k-1)为偶数：

则有：(n-1)&k == k;

(n-1)&(k-1) != k-1;

显然，k的最后一位只能是0，否则由(n-1)&k == k即可推出(n-1)&(k-1) == k-1。

所以k的末尾必有一部分形如：1{0}0;

相应的，n-1的对应部分为： 1{};

相应的，k-1的对应部分为： 0{1}1;

则若要使得(n-1)&(k-1) != k-1 则要求n-1对应的{}中至少有一个是0.

所以n的对应部分也就为 ： 1{}; (不会因为进位变1为0)

所以 n&k = k。

4).假设C(n-1,k)为偶数而C(n-1,k-1)为奇数：

则有：(n-1)&k != k;

(n-1)&(k-1) == k-1;

分两种情况：

当k-1的最后一位为0时:

则k-1的末尾必有一部分形如: 1{0}0;

相应的，k的对应部分为 : 1{0}1;

相应的，n-1的对应部分为 : 1{}0; (若为1{}1,则(n-1)&k == k)

相应的，n的对应部分为 : 1{*}1;

所以n&k = k。

当k-1的最后一位为1时:

则k-1的末尾必有一部分形如: 0{1}1; (前面的0可以是附加上去的)

相应的，k的对应部分为 : 1{0}0;

相应的，n-1的对应部分为 : 0{1}1; (若为1{1}1，则(n-1)&k == k)

相应的，n的对应部分为 : 1{0}0;

所以n&k = k。

由3),4)得出当C(n,k)为奇数时，n&k = k。

综上，结论得证!