欧几里得算法，最大公约数

其计算原理依赖于下面的定理：

定理：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b) (a>b 且a mod b 不为0)

证明：a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b

假设d是a,b的一个公约数，则有

d|a,d|b，而r = a - kb，因此d|r

因此d也是（b,a mod b）的公约数

因此（a,b）和（b,a mod b）的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证

或：证明：

第一步：令c=gcd(a,b），则设a=mc，b=nc

第二步：根据前提可知r =a-kb=mc-knc=(m-kn)c

第三步：根据第二步结果可知c也是r的因数

第四步：可以断定m-kn与n互素【否则，可设m-kn=xd，n=yd，（d>1），则m=kn+xd=kyd+xd=(ky+x)d，则a=mc=(ky+x)dc，b=nc=ycd，故a与b最大公约数≥cd，而非c，与前面结论矛盾】

从而可知gcd(b,r)=c，继而gcd(a,b)=gcd(b,r），得证

以上两种方法实质一样的。

#include<stdio.h>
int Gcd(int M,int N)
{

int temp;

while (N > 0) {
temp = M % N;
M = N;
N = temp;
}

return M;
}

int main()
{

int a , b;

scanf("%d%d",&a,&b);

printf("%d",Gcd(a, b));

return 0;
}