[数学小考] 2015.6.24

考了三道比较简单的数学题（题目来源网络）

傻牛的约数研究(divisor)

[Description]

傻牛最近在研究约数，它觉得这玩意很牛逼。

首先，对于一个数字 X 来说，设 F(X) 表示 X 的约数个数，可以先将 X 表达成为若干个质数的幂次

之积，即 X=p1k1*p2k2 ……*psks，然后 F(X)=(k1+1)(k2+1)……(ks+1) 。傻牛觉得

这个碉堡了。有一天它想，我们是不是可以求出 F(1)+F(2)+F(3)+……+F(N) 的值呢？结果，它

晕掉了。

[Solution]

答案即为1~n所有数的约束的个数和。

当然可以利用分解质因数直接求，但是有更机智的方法。

枚举i=1 to n,n/i即为以i为因数的数的个数，所以答案即为 sigma(i=1~n) n/i;

代码8行.

#include<cstdio>
int main(){
int n,ans=0;
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++) ans+=n/i;
printf("%d",ans);
return 0;
}

傻牛的递推数列(sequence)

[Description]

傻牛最近钻研各类数学递推数列。尤其是斐波那契数列。

傻牛眼中的斐波那契数列是这样的， F1=1， F2=1，然后 Fi+2=Fi+1 + Fi，逐项递推。

今天，傻牛发现，某些斐波那契项之间是成倍数关系的。例如第 4 项 F4=3 和第 8 项 F8=21。

傻牛想知道，对于某一项 Fx，求所有满足 Fi 是 Fx 是 Fi 倍数的 i 的和是多少？

[Solution]

发现了斐波那契数列一个很神奇的性质，对于任意x>2,任意x>i的F[i]是F[x]的约数当且仅当i是x的约数。（可自行证明）

于是题目转化为，求x的约数和…注意特判

代码依然很简单

#include<cstdio>

const int maxn=1000000; int ans[maxn+1];

int main(){
int n;
for(int i=3;i<=maxn;i++)
for(int j=i;j<=maxn;j+=i) ans[j]+=i;
while(~scanf("%d",&n)) printf("%d\n",ans
+3);
return 0;

}

傻牛的数字游戏(Game)

[Description]

傻牛最近在玩一个数字游戏。

首先，规定一个神奇的数字 P，它就是 1000000007。

这个游戏是这样的，首先给你一个无比巨大的数字（1000000006!）^1000000006，当然，这个

数字对 P 的模值为 1。然后，游戏可能给你以下两种操作之一，第一种操作就是将这个数乘以一个

数字 X，第二种操作就是将这个数字除以一个数字 X。要求输出每种操作过后这个数字对 P 的模值。

现在，傻牛的菊花痒了，要去上厕所了，你不得不帮他玩一盘。

[Solution]

乘法很容易做，就是当前模数*x再模p,除法就是乘上x的逆元再模p.

这里不再赘述代码

总结：学到的姿势

斐波那契数列神奇的性质

n约数个数的求法

n的约数和

1~n的约数和

–By Foggy

2015.6.24