学军NOI训练13 T3 白黑树

唉，大学军有自己的OJ就是好，无限orz

只有周六的比赛是开放的囧，这场比赛最后因为虚拟机卡住没有及时提交……

否则就能让大家看到我有多弱了……

前两题题解写的很详细，可以自己去看，我来随便扯扯T3好了

题目是这样的：

有一棵以1为根的白黑树，每个节点都是黑色或白色，初始权值是0。维护两个操作：

1.选定一个点a，对于所有黑色的点i，将lca(a,i)的权值加上i； 2.将a号点的颜色反转。

最后求每个点权值

很容易想出这样一个暴力：先考虑1操作，权值增加的点一定是a到根路径上的点

且每个点增加的权值都是自己子树内黑点编号和-路径下一个点的子树内黑点遍和（a增加的就是自己子树内黑点的编号和）

这样不难想到一个用dfs序的O(dlogn)+O(logn)（分别代表两个操作复杂度的做法，d是树的深度）

这样可以跑过深度很小的数据（比如菊花图）

但算法还有很大的优化空间，因为路径上点的操作其实是非常类似的

考虑树链剖分的做法，树链剖分后的复杂度保证是基于这个定理: 任意一点到根的路径所经过的轻边不超过logn

因此，对于操作1经过轻边到达的点以及点a，我们还像之前的做法（子树和-子和）树计算贡献，这样就是O(log^2)

下面考虑重链上的点怎么快速统计，设一段重链为u...p,q...v

当前我们走了一条轻边到了q，进入了一条重链上，则我们要快速处理u...p这一段

任何一个非叶子节点i都在一条重链上，定义重链下一个点叫作重儿子，除此之外点i还延伸出一些轻边，那些轻边延伸到的点我们叫做轻儿子

考虑操作1，在重链上的一点x，如果他的重儿子y及其子树上的黑点会对x产生影响

则操作1的点a一定落在x的轻儿子的子树中，而我们知道，从a这样往上爬，

x一定是通过一条轻边到达的点，根据之前的约定，我们是通过子树直接计算对x的影响的

如果a就是x，那也是通过子树直接计算对x的权值影响的

因此在考虑一段重链u...p上的点x，我们是不用他重儿子的子树对他权值的影响，只要考虑，x的轻儿子子树中的黑点和自身是否是黑点的影响即可：

设w[x]为x轻儿子子树以及自身黑点的编号和，在操作1中，我们只要对一段重链u...p打上+1 tag即可；

相当于每个点x的权值加上了w[x]*tag[x]，通过线段树，这样的复杂度也是O(log^2)；

如果出现操作2怎么办呢，经过之前的分析就很简单了，我们先维护dfs序的子树和

然后只要顺着a向根走，更新a点以及经过轻边到达的点x（更新w[],计算之前tag带来的影响）就可以了

1 type node=record
2        po,next:longint;
3      end;
4
5 var e:array[0..400010] of node;
6     top,p,s,fa,d,a,b,c:array[0..200010] of longint;
7     f,w,ans:array[0..200010] of int64;
8     tree:array[0..200010*4] of longint;
9     t,i,n,m,len,x,y:longint;
10
11 function lowbit(x:longint):longint;
12   begin
13     exit(x and (-x));
14   end;
15
16 procedure add(x,y:longint);
17   begin
18     inc(len);
19     e[len].po:=y;
20     e[len].next:=p[x];
21     p[x]:=len;
22   end;
23
24 procedure ins(x,w:longint);
25   begin
26     while x<=n do
27     begin
28       f[x]:=f[x]+w;
29       x:=x+lowbit(x);
30     end;
31   end;
32
33
34 procedure dfs1(x:longint);
35   var i,y:longint;
36   begin
37     s[x]:=1;
38     i:=p[x];
39     while i<>0 do
40     begin
41       y:=e[i].po;
42       if s[y]=0 then
43       begin
44         fa[y]:=x;
45         d[y]:=d[x]+1;
46         dfs1(y);
47         s[x]:=s[x]+s[y];
48       end;
49       i:=e[i].next;
50     end;
51   end;
52
53 procedure dfs2(x:longint);
54   var i,y,q:longint;
55   begin
56     inc(t);
57     b[x]:=t;
58     a[t]:=x;
59     q:=0;
60     i:=p[x];
61     while i<>0 do
62     begin
63       y:=e[i].po;
64       if b[y]=0 then
65         if s[y]>s[q] then q:=y;
66       i:=e[i].next;
67     end;
68     if q<>0 then
69     begin
70       top[q]:=top[x];
71       dfs2(q);
72     end;
73     i:=p[x];
74     while i<>0 do
75     begin
76       y:=e[i].po;
77       if b[y]=0 then
78       begin
79         top[y]:=y;
80         dfs2(y);
81       end;
82       i:=e[i].next;
83     end;
84   end;
85
86 function ask(x:longint):int64;
87   begin
88     ask:=0;
89     while x>0 do
90     begin
91       ask:=ask+f[x];
92       x:=x-lowbit(x);
93     end;
94   end;
95
96 procedure push(i:longint);
97   begin
98     if tree[i]<>0 then
99     begin
100       inc(tree[i*2],tree[i]);
101       inc(tree[i*2+1],tree[i]);
102       tree[i]:=0;
103     end;
104   end;
105
106 procedure get(i,l,r,x:longint);
107   var m:longint;
108   begin
109     if l=r then
110     begin
111       inc(ans[a[l]],w[a[l]]*int64(tree[i]));
112       tree[i]:=0;
113     end
114     else begin
115       m:=(l+r) shr 1;
116       push(i);
117       if x<=m then get(i*2,l,m,x)
118       else get(i*2+1,m+1,r,x);
119     end;
120   end;
121
122 procedure tag(i,l,r,x,y:longint);
123   var m:longint;
124   begin
125     if (x<=l) and (y>=r) then
126       inc(tree[i])
127     else begin
128       m:=(l+r) shr 1;
129       push(i);
130       if x<=m then tag(i*2,l,m,x,y);
131       if y>m then tag(i*2+1,m+1,r,x,y);
132     end;
133   end;
134
135 procedure work(x,z:longint);
136   begin
137     ins(b[x],z);
138     while x<>0 do
139     begin
140       get(1,1,n,b[x]);
141       w[x]:=w[x]+z;
142       x:=fa[top[x]];
143     end;
144   end;
145
146 procedure calc(x:longint);
147   var y:longint;
148   begin
149     y:=0;
150     while x<>0 do
151     begin
152       inc(ans[x],ask(b[x]+s[x]-1)-ask(b[x]-1));
153       if y<>0 then
154         dec(ans[x],ask(b[y]+s[y]-1)-ask(b[y]-1));
155       if x<>top[x] then tag(1,1,n,b[top[x]],b[x]-1);
156       y:=top[x];
157       x:=fa[y];
158     end;
159   end;
160
161 begin
162   readln(n,m);
163   for i:=1 to n do
164     read(c[i]);
165   for i:=1 to n-1 do
166   begin
167     readln(x,y);
168     add(x,y);
169     add(y,x);
170   end;
171   dfs1(1);
172   top[1]:=1;
173   dfs2(1);
174   for i:=1 to n do
175     if c[i]=1 then work(i,i);
176   for i:=1 to m do
177   begin
178     readln(x,y);
179     if x=1 then calc(y)
180     else begin
181       if c[y]=1 then work(y,-y)
182       else work(y,y);
183       c[y]:=1-c[y];
184     end;
185   end;
186   for i:=1 to n do
187   begin
188     get(1,1,n,b[i]);
189     writeln(ans[i]);
190   end;
191 end.

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