使用向量的方法计算点到直线的距离

使用向量的方法效率更高，更简单。

首先要了解什么是向量，什么是向量的模

主要用到了解析几何里的几个公式

a * b = | a | * | b | * cos(x)

，其中x为向量a,b的夹角

| a | * 单位向量 = a

，单位向量为模为1的向量

向量的加减法 ，如下图所示

向量的加法



向量的减法



问题的原型如下图所示，红色的点为鼠标位置，蓝色的点(x0,y0)，(x1,y1)为线段的端点，求红色的点到直线的距离




可以将点到线的距离转换为直角三角形的问题，如下图所示：



我们定义鼠标所在点为M，线段起点为A，终点为B，MA为向量a，AB为向量b，向量c为向量a在向量b上的投影，向量e为M点到AB的垂线，关键就是求出向量e的模。

要得到向量e的模，首先要得到向量e，而要得到向量e就需要得到向量c，问题就转换为了求向量c。

由勾股定理可得

|c| = |a| * cos(x)

，x为向量ab的夹角，而

|a| * cos(x) = |a| * |b| * cos(x) / |b| = a * b / |b|

，这样就得到了c的模，这样就可以得到

c = |c| * 单位向量

，

因为c与b的方向相同，所以取

单位向量=b / |b|

，整理可得：

c=(a∗b)|b|b|b| c = \dfrac{(a * b)} {|b|} \dfrac{b}{|b|}

=(a∗b)|b|2b= \dfrac{(a * b)}{|b|^2}b

得到c的向量之后，就可以得到向量

e = a - c

再取e的模即可得到点到直线的距离。

最后两个图片源自https://msdn.microsoft.com/en-us/library/ms969920.aspx