[动态规划]最长不降子序列-NlogN算法

NlogN算法精髓在于设立数组dp[ ]，dp[i]表示长度为i的不下降序列中结尾元素的最小值，用len表示数组目前的长度，算法完成后len的值即为最长不下降子序列的长度。

设当前的以求出的长度为len，则判断num[i]和dp[len]：

1.如果num[i]>dp[len]，即num[i]大于长度为len的序列中的最后一个元素，这样就可以使序列的长度增加1，即len++,然后现在的dp[len]=num[i]；

2.如果num[i]<temp[len]，那么就在dp[1]...dp[len]中找到最大的j(因为dp[ ]递增，可以用二分查找),使得dp[j]<num[i],dp[j+1]>num[i],然后因为dp[j]<num[i]，所以num[i]大于长度为j的序列的最后一个元素，那么就可以更新长度为j+1的序列的最后一个元素，即dp[j+1]=num[i]。

例如：num[ ]={2,3,6,4,5} 

到num[2]=6,dp[3]=6应该没什么问题，

i=3,num[3]=4,3<num[3]<6,dp[3]=6替换为 dp[3]=4,len=3;

i=5,num[4]>dp[3],  len++,len=4,dp[len]=num[4],得到序列长度len=4.

代码：（严格递增）

#include<stdio.h>
#include<string.h>

int Binsearch(int key,int* dp,int left,int right)
{
int mid;
while(left<=right)
{
mid=(left+right)/2;
if(dp[mid]<key)
{
if(dp[mid+1]>key) return mid;
else left=mid+1;
}
else right=mid-1;
}
return 0;
}

int main()
{
int a[1001],dp[1001];
int i,j,k;
int len,n;
while(scanf("%d",&n)!=EOF)
{
memset(a,0,sizeof(a));
memset(dp,0,sizeof(dp));
for(i=0;i<n;i++)
scanf("%d",&a[i]);
len=1;
dp[len]=a[0];
for(i=1;i<n;i++)
{
if(a[i]>dp[len])
{
len++;
j=len;
}
else
{
j=Binsearch(a[i],dp,1,len);
j++;
}
dp[j]=a[i];
}
printf("%d\n",len);
}
}