软测验点---平衡二叉树

在平衡二叉树

(Balanced binarytree)是由阿德尔森-维尔斯和兰迪斯(Adelson-Velskii and Landis)于1962年首先提出的，所以又称为AVL树。

一、平衡二叉树的基本介绍

定义：平衡二叉树或为空树,或为例如以下性质的二叉排序树:

（1）左右子树深度之差的绝对值不超过1;

（2）左右子树仍然为平衡二叉树.

平衡因子BF=左子树深度－右子树深度.

平衡二叉树每一个结点的平衡因子仅仅能是1。0，-1。

若其绝对值超过1。则该二叉排序树就是不平衡的。

查找、插入和删除在平均和最坏情况下都是O（log n）。添加和删除可能须要通过一次或多次树旋转来又一次平衡这个树。

如图所看到的为平衡树和非平衡树示意图：



（图一左为非平衡二叉树，图一右图为平衡二叉树）

二、平衡二叉树算法思想

若向平衡二叉树中插入一个新结点后破坏了平衡二叉树的平衡性。首先要找出插入新结点后失去平衡的最小子树根结点的指针。然后再调整这个子树中有关结点之间的链接关系，使之成为新的平衡子树。当失去平衡的最小子树被调整为平衡子树后，原有其它全部不平衡子树无需调整，整个二叉排序树就又成为一棵平衡二叉树。

失去平衡的最小子树是指以离插入结点近期，且平衡因子绝对值大于1的结点作为根的子树。如果用A表示失去平衡的最小子树的根结点，则调整该子树的操作可归纳为下列四种情况。

（1）LL型平衡旋转法（右转）

因为在A的左孩子B的左子树上插入结点F，使A的平衡因子由1增至2而失去平衡。

故需进行一次顺时针旋转操作。即将A的左孩子B向右上旋转取代A作为根结点。A向右下旋转成为B的右子树的根结点。而原来B的右子树则变成A的左子树。



图二（1）



图二（2）

（2）RR型平衡旋转法（左转）

因为在A的右孩子C的右子树上插入结点F，使A的平衡因子由-1减至-2而失去平衡。

故需进行一次逆时针旋转操作。即将A的右孩子C向左上旋转取代A作为根结点，A向左下旋转成为C的左子树的根结点。而原来C的左子树则变成A的右子树。



图三（1）



图三（2）

（3）LR型平衡旋转法（先左后右）

因为在A的左孩子B的右子数上插入结点F，使A的平衡因子由1增至2而失去平衡。故需进行两次旋转操作（先逆时针，后顺时针）。

即先将A结点的左孩子B的右子树的根结点D向左上旋转提升到B结点的位置。然后再把该D结点向右上旋转提升到A结点的位置。

即先使之成为LL型，再按LL型处理。



图四（1）

如图四中所看到的，即先将圆圈部分先调整为平衡树，然后将其以根结点接到A的左子树上，此时成为LL型，再按LL型处理成平衡型。



图四（2）

（4）RL型平衡旋转法（先右后左）

由的右孩子C的左子树上插入结点F，使A的平衡因子由-1减至-2而失去平衡。

故需进行两次旋转操作（先顺时针，后逆时针）。即先将A结点的右孩子C的左子树的根结点D向右上旋转提升到C结点的位置，然后再把该D结点向左上旋转提升到A结点的位置。即先使之成为RR型，再按RR型处理。



图五（1）

如图五中所看到的，即先将圆圈部分先调整为平衡树，然后将其以根结点接到A的左子树上，此时成为RR型，再按RR型处理成平衡型。



图五（2）

（以上的四种节点包括了全部插入时导致不平衡的情况，图中所看到的不过平衡树插入后产生的最小不平衡子树）

平衡化靠的是旋转。參与旋转的是3个节点（当中一个可能是外部节点NULL），旋转就是把这3个节点转个位置。注意的是，左旋的时候p->right一定不为空，右旋的时候p->left一定不为空，这是显而易见的。

假设从空树開始建立，并时刻保持平衡。那么不平衡仅仅会发生在插入删除操作上，而不平衡的标志就是出现bf == 2或者bf == -2的节点。8

例：在平衡二叉树中插入一个结点后造成了不平衡。设最低的不平衡结点为A，而且A的左孩子的平衡因子为-1，右孩子的平衡因子为0。则使其平衡的调整方法为( )

A.LL型
B.LR型

C.RL型 D.RR型

解：由图四（1）显然答案选B

（个人角度理解，如果错误还请指教读者）