树状数组

下面是我自己对树状数组的认识。。。

树状数组，是一个查询和修改复杂度都为log(n)的数据结构。树状数组支持区间查询，单值修改。树状数组之所以查询快速，是因为相当于对数组有效的划分和维护。



这图是盗的度娘的。。。C数组就是树状数组。

C[1]=A[1];

C[2]=A[1]+A[2];

C[3]=A[3];

C[4]=A[1]+A[2]+A[3]+A[4];

C[5]=A[5];

C[6]=A[5]+A[6];

C[7]=A[7];

C[8]= A[1]+A[2]+A[3]+A[4]+A[5]+A[6]+A[7]+A[8];

..........

C数组每一个元素都有一个维护长度(也就是管辖范围)，假设元素C[x]维护长度为l,则元素表示的是从A[x-l+1]到A[x]的所有元素和。因此，树状数组的建立主要在于每个元素的维护长度的求解。对于结点编号为x的结点，假设它的二进制表示形式末尾有t个连续的0，那么该结点的维护长度就是2^t。也就是说，该元素表示的是从A[x-2^t+1]到A[x]的所有元素和。

而对于给定的x，它的二进制表示形式末尾0的个数t可用一个短小精悍的公式求出：k=(x)&(-x)。 这公式研究不了，直接用了。。。

int lowbit(int x)
{
return x&(-x);
}

所以，可以得出计算前k项元素和的算法。

int sum(int k)
{
int ans = 0;
while(k>0)
{
ans += c[k];
k = k- lowbit(k);
}
return ans;
}

如果要求的不是从头开始的某段元素的和，可以利用减法。比如求的是A[m]到A
之间元素的和，可以S(n)-S(m-1)求出。

而对于单值的更新，要将其关联的所有C数组中元素的值全部更新。下面对A[t]的值更新。

void add(int t,int value)
{
while(t<=n)
{
c[t] += value;
t = t + lowbit(t);
}
}

最后就是C数组的初始建立了。

void build()
{
for (int i=1;i<=n;i++)
{
c[i]=A[i];
for (int j=i-1; j>i-lowbit(i);j-=lowbit(j))
c[i]+=c[j];
}
}

注意C[i]的管辖范围。。。

总之，树状数组就是通过管辖范围(下标维护)来提高效率的。

void build()
{
for (int i=1;i<=n;i++)
{
c[i]=A[i];
for (int j=i-1; j>i-lowbit(i);j-=lowbit(j))
c[i]+=c[j];
}
}