梯度下降法-gradient descent --实例解析

写作目的：发现很多机器学习算法中，多少涉及到迭代求解无约束函数的最值，故整理如下

梯度下降法是求解无约束最优化问题的一种常用算法，具有实现简单的优点；

无约束最优化问题，因为求解问题无约束，所以，我们可以用一种试探的算法：一个个值的试探，在解空间内总是能找到最有解，这种算法其实暗含了迭代的思想，但是试探这种算法盲目性比较大，导致其时间复杂度较高，结合已知信息：函数沿着梯度方向函数值上升最快，那么要求最小值，我们是不是可以循着梯度的反方向呢？就是这种想法催生出梯度下降算法，顾名思义，他是沿着梯度下降方向迭代的一种寻优算法。

要求解的无约束问题形式如下



既然是一种迭代算法，那么初始迭代点需要我们人为选取，设为

，不断迭代，更新的值。目标函数值最小化，直到收敛为止。假设第
k迭代值为，那么第k+1次发迭代值的表达式：


...


其中，

，表示步长，由一维搜索确定，即使得。

举例



那么这样迭代涉及到一个问题，何时迭代终止？所以，给出迭代终止条件：

梯度小于我们事先设定的一个正极小值的时候，停止迭代 —— 对应于本例中的情形一
前后两次求得的函数值之间的差异小于我们设定的一个正极小值，同样停止迭代—— 对应于本例中的情形三
前后两次求得的迭代变量之间的差异小于我们设定的一个正极小值，停止迭代

你会发现其中，迭代步长对迭代的影响，尤其是情形三，原来步子迈大了真的会扯着淡

总结：选初值，求梯度，用初始值以及其梯度迭代

说明：当函数是凸函数时候(如本例)，梯度下降法的解是全局最优解，一般情形下，其解不能保证全局最优解。并且其收敛速度未必是很快的。

参考：统计学习方法，李航