LCA与RMQ

一、什么是LCA?

LCA：Least Common Ancestors（最近公共祖先），对于一棵有根树T的任意两个节点u，v，求出LCA(T, u, v)，即离跟最远的节点x，使得x同时是u和v的祖先。

二、算法分类

　　求LCA的算法很多，按照是否在线可以分为在线算法和离线算法。
在线算法：用比较长的时间做预处理，但是等信息充足以后每次回答询问只需要用比较少的时间。
离线算法：先把所有的询问读入，然后一起把所有询问回答完成，不是本文所讲，Click here

三、在线算法

　　(1)什么是RMQ?

　　RMQ：给出一个数组A，回答询问RMQ(A, i, j)，即A[i...j]之间的最值的下标。

　　(2)RMQ算法，不是本文所讲，Click here

[b]　　(3)RMQ与LCA [/b]

[b]　　[/b]假设一颗有根树，如图所示：

　　


　　我们可以通过深搜（从1节点开始）得到这样一个序列：

　　欧拉序列V：1 2 1 3 4 3 5 6 5 7 5 3 1

　　深度序列D：0 1 0 1 2 1 2 3 2 3 2 1 0

　　First：1 2 4 5 7 8 10

　　First表示节点i在欧拉序列V中第一次出现的位置

　　

　　现在比如我们要求LCA(4，7)

　　那么找到节点4和7第一次出现的位置即：First(4)=5,First(7)=10

　　对应到欧拉序列V中区间[5,10]即：4 3 5 6 5 7

　　发现正好是以3为根的子树，然我我们找到这几个数中深度最小的即D(3)，说明3就是4和7的最近公共祖先

　　同理再比如说要求LCA(2,5)，First(2)=2，First(5)=7，找到对应区间[2,7]即2 1 3 4 3 5

　　然后找到深度最小的即1，说明1就是2和5的最近公共祖先。

四：例题

　　HDU 2586

　　AC CODE：

　　

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
using namespace std;
#define min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))
#define N 40010
#define M N*2

struct edge
{
int u,v,w,next;
}edge[M];
int tot,head
;

int n,m;
int idx;
bool vis
;
int ver[2*N];
int dep[2*N];
int first
;
int dis
;
int dp[2*N][20];

void init()
{
tot=0;
memset(head,-1,sizeof(head));
}
void add(int u,int v,int w)
{
edge[tot].u=u;
edge[tot].v=v;
edge[tot].w=w;
edge[tot].next=head[u];
head[u]=tot++;
}
void init2()
{
idx=0;
dis[1]=0;
memset(vis,0,sizeof(vis));
}
void dfs(int u,int d)
{
vis[u]=1;
ver[++idx]=u;
first[u]=idx;
dep[idx]=d;
for(int i=head[u];i!=-1;i=edge[i].next){
int v=edge[i].v;
if(!vis[v]){
int w=edge[i].w;
dis[v]=dis[u]+w;
dfs(v,d+1);
ver[++idx]=u;
dep[idx]=d;
}
}
}
void ST(int n)
{
int i,j;
for(i=1;i<=n;i++) dp[i][0]=i;
for(j=1;(1<<j)<=n;j++){
for(i=1;i<=n;i++){
if(i+(1<<j)-1<=n){
int a=dp[i][j-1];
int b=dp[i+(1<<(j-1))][j-1];
dp[i][j]=dep[a]<dep[b]?a:b;
}
}
}
}
int RMQ(int i,int j)
{
int k=(int)(log((double)(j-i+1))/log(2.0));
int a=dp[i][k],b=dp[j-(1<<k)+1][k];
return dep[a]<dep[b]?a:b;
}
int LCA(int u,int v)
{
int x=first[u];
int y=first[v];
if(x>y) swap(x,y);
int res=RMQ(x,y);
return ver[res];
}
int main()
{
int T;
scanf("%d",&T);
while(T--)
{
init();
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<n;i++)
{
int u,v,w;
scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
add(u,v,w);
add(v,u,w);
}
init2();
dfs(1,0);
ST(2*n-1);
while(m--)
{
int u,v;
scanf("%d%d",&u,&v);
int lca=LCA(u,v);
printf("%d\n",dis[u]+dis[v]-2*dis[lca]);
}
}
return 0;
}