KMP算法推导

一个问题

有一个主串S1，一个子串S2，如何判断主串S1中是否存在子串S2 ?

朴素模式匹配算法

我们举个例子

主串S1：

abcdefgab

子串S2：

abcdex

朴素模式匹配法的原理：

设i，j 分别表示主串S1与子串S2上的第i，j 个元素。i，j 均初始化为1

1. S1的第i个元素 与 S2的第j个元素进行对比，如果相同，执行步骤 2 。如果不同，执行步骤 3

2. i++, j++ ， 重复步骤 1

3. j = 1 , 执行步骤 1

。。。

直到找到子串 或 主串被遍历

观察朴素模式匹配过程：

1.



2.



3.



4.



5.



6.



朴素模式匹配的步骤为1~6

我们观察一下子串S2：

abcdex

，首字符

a

与后边的

bcdex

中的字符均不相等

当第1步前边的

abcde

已匹配，而S1中的f 与 S2中的f 不匹配，执行了第2步

由于之前b已经与S1中的第二个元素匹配，b与a不相等，则没必要有第二步

同理，步骤3 4 5均不必要

或许会觉得其实也没什么。。。

假如主串为：00000000000000000000000000000000000000000000000000000000001

子串为：00000000000000001

朴素模式匹配法将会耗费大量时间，效率低

KMP匹配算法

正如上边所说，我们应该省去一些不必要的匹配，这也正是KMP算法产生的根本原因

我们可以在发现f不与x匹配时，由步骤1直接跳到步骤6

因为子串

abcdex

前边的

abcde

中，a与他们均不相同

假如子串后遍也有a呢？

我么再来看个例子：

主串S1：

abcabcabc

子串S2：

abcabx

朴素模式匹配法步骤如下：

1.



2.



3.



4.



5.



6.



我们可以跳过步骤2 和步骤3 ，原因就不多说了

然后观察步骤4 步骤5

在子串中第一位的a与第四位的a相等，第二位与第五位同为b

由于步骤1中已经匹配了前5 个元素，所以步骤4 步骤5 也可以省去，不需要再比较了

因为肯定也是相等的（之前比较过了，还判断什么）

最后结果：只需要步骤1 与 步骤6

一个发现

经过一番推到后的匹配步骤中

- 在步骤1 时，主串的下标i 为6

- 在步骤6 中，主串的下标i 还是6

在朴素模式匹配中，主串的下标i 是不断地回溯的

经过我们的推导，发现这种回溯是不必要的

我们的KMP算法就是为了让这些没必要的回溯不发生

如何实现KMP算法呢？

既然主串的i 不需要回溯，那么我们就要考虑子串下标j 的变化了

在我们之前的两个例子中，屡屡提到子串中首字符与后边字符的比较

如果发现有相等，则j 就会有不同的变化

所以j 的变化与主串无关，而与子串中的重复有关

有什么关系呢？

比如第一个例子中，子串为：

abcdex

没有任何的重复，所以j直接由6 变为1

第二个例子中，子串为：

abcabcx

前缀

ab

与 后边x 之前的串的后缀

ab

相同

则j 由6变为了3

规律：j 的变化取决于当前字符之前的串的前后缀的相似程度

一个让人看着发迷的公式

我们把串各个位置的j 值的变化定义为一个数组next，next长度为子串的长度

然后我们有了这样的定义：



先写到这儿，稍后写next数组的推导 :)