凸三角形最优三角剖分

问题相关定义：

(1)凸多边形的三角剖分：将凸多边形分割成互不相交的三角形的弦的集合T。

(2)最优剖分： 给定凸多边形P，以及定义在由多边形的边和弦组成的三角形上的权函数w。要求确定该凸多边形的三角剖分，使得该三角剖分中诸三角形上权之和为最小。 下图为剖分案例。



若凸(n+1)边形P={V0,V1……Vn}的最优三角剖分T包含三角形V0VkVn,1<=k<=n，则T的权为三个部分权之和：三角形V0VkVn的权，多边形{V0,V1……Vk}的权和多边形{Vk,Vk+1……Vn}的权之和。如下图所示：



可以断言，由T确定的这两个子多边形的三角剖分也是最优的。因为若有{V0,V1……Vk}和{V0,V1……Vk}更小权的三角剖分，将导致T不是最优三角剖分的矛盾。因此，凸多边形的三角剖分问题具有最优子结构性质。

3、递推关系：

设t[i][j],1<=i<j<=n为凸多边形{Vi-1,Vi……Vj}的最优三角剖分所对应的权值函数值，即其最优值。最优剖分包含三角形Vi-1VkVj的权，子多边形{Vi-1,Vi……Vk}的权，子多边形{Vk，Vk+1……Vj}的权之和。



因此，可得递推关系式：



凸(n+1)边形P的最优权值为t[1]
。





摘自：/article/1386222.html

三角剖分的结构及其相关问题。

凸三角形的三角剖分与表达式的完全加括号之间具有十分密切的关系。 正如所看到的一样， 矩阵连乘的最优计算次序等价于矩阵链的最优完全加括号方式。其实更加奇妙的地方是， 这些问题似乎都是一个模子刻出来的！ 其实本质原因就是因为它们所对应的完全二叉树的同构性。 一个表达式的完全加括号方式相应于一棵完全二叉树， 称为表达式的语法树。 而恰恰恰好的是， 凸多边形的剖分也可以用语法数表示。（请原谅“草滩小恪”画图功夫不行， 无法画出对应的图）

　　　　　　　　　　　　　　　　模板主要代码：

//t[][] 记忆路径， s[][] 记录最优路径  W（ ， ， ）为权值函数
const int maxn = 100;
void minWeightTriangulation(int n, int t[][100], int s[][100])
{
for(int i=1; i<=n; i++) t[i][i] = 0;
for(int r=2; r<=n; r++)
for(int i=1; i<=n-r+1; i++)
{
int j = i + r - 1;
t[i][j] = t[i+1][j] + w(i-1, i, j);
s[i][j] = i;
for(int k = i+1; k<j; k++)
{
int u = t[i][k] + t[k+1][j] + w(i-1, k, j);
if(u<t[i][j])
{
t[i][j] = u;
s[i][j] = k;
}
}
}
}

代码如有疑问可参见“矩阵连乘”。