三维坐标系的旋转矩阵

前言：非常感谢http://m.blog.csdn.net/blog/qiuqchen/21980731的总结和分享  ，让我再一次详细的学习了三维坐标中的选择矩阵推导过程。

为了方便自己记忆，记录一下三维坐标旋转矩阵的推导过程。

    坐标的旋转变换在很多地方都会用到，比如机器视觉中的摄像机标定、图像处理中的图像旋转、游戏编程等。

    任何维的旋转可以表述为向量与合适尺寸的方阵的乘积。最终一个旋转等价于在另一个不同坐标系下对点位置的重新表述。坐标系旋转角度θ则等同于将目标点围绕坐标原点反方向旋转同样的角度θ。

    若以坐标系的三个坐标轴X、Y、Z分别作为旋转轴，则点实际上只在垂直坐标轴的平面上作二维旋转。

   假设三维坐标系中的某一向量

，其在直角坐标系中的图如图1所示。其中点P在XY平面、XZ平面、YZ平面的投影分别为点M、点P、点N。

                                                           


                                                       
                                    图1 直角坐标系XYZ

   一、

绕Z轴旋转θ角

    绕Z轴旋转，相当于

在XY平面的投影OM绕原点旋转，如下图所示，OM旋转θ角到OM'。



 图4
向量绕Y轴旋转示意图

设旋转前的坐标为

，旋转后的坐标为

，则点M的坐标为

，点M'的坐标为

。由此可得：

                                               

 
                     


                                                  
                                               

 
       


                                                  
                                               


    对于

和

进行三角展开可得：

                                              



                                              



    且有

;可得绕Z轴旋转

角的旋转矩阵为：

                         

                                                                   



   二、

绕X轴旋旋转θ角
   绕X轴旋转，相当于

在YZ平面的投影ON绕原点旋转，如下图所示，ON旋转θ角到ON'。



  图3
向量绕X轴旋转示意图

   设旋转前的坐标为

，旋转后的坐标为

，则点N的坐标为

，点N'的坐标为

。由此可得：

                                               

 
                     


                                                  
                                               

 
       


                                                  
                                               


    对于

和

进行三角展开可得：

                                              



                                              



    且有

;可得绕X轴旋转

角的旋转矩阵为：

                         

                                                                   



    三、

绕Y轴旋旋转θ角
    绕Y轴旋转，相当于

在XZ平面的投影OQ绕原点旋转，如下图所示，OQ旋转θ角到OQ'。



  图4
向量绕Y轴旋转示意图

   设旋转前的坐标为

，旋转后的坐标为

，则点Q的坐标为

，点Q'的坐标为

。由此可得：

                                               

 
                     


                                                  
                                               

 
       


                                                  
                                               


    对于

和

进行三角展开可得：
                                              



                                              


    且有

;可得绕Y轴旋转

角的旋转矩阵为：
                         
                                                                   



    四、绕X、Y、Z轴旋转的旋转矩阵分别为：

 

                

 
      

 
     

                 



    五、总结

    

    啰啰嗦嗦终于打完所有的公式了，其实三个轴会推导其中一个轴的旋转矩阵的话，另外两个轴也类似地可以很容易推导出来。这里给出所有的推导过程只是为了我自己记忆的方便。当然也可以不旋转向量，而使用旋转坐标系的方法推导，两种方法是等价的。

    公式的输入我使用了这篇博客http://blog.csdn.net/linraise/article/details/11712937给出的方法。还有一个小技巧，就是可以双击公式，在最上面的工具栏“图片”选项里直接修改公式的内容。

参考：

1、《学习OpenCV》

2、公式输入：http://blog.csdn.net/linraise/article/details/11712937

3、在线编辑公式：http://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php

    
扩展：

在进行图像程序开发的过程中，免不了要对图像做各种变换处理。有的时候变换可能比较复杂，比如平移之后又旋转，旋转之后又平移，又缩放。

直接用公式计算，不但复杂，而且效率低下。这时可以借助变换矩阵和矩阵乘法，将多个变换合成一个。 最后只要用一个矩阵对每个点做一次处理就可以得到想要的结果。

  另外，矩阵乘法一般有硬件支持，比如3D 图形加速卡，处理3D变换中的大量矩阵运算，比普通CPU 要快上1000倍。

下面是3类基本的3D图形变换： （2D图形的变换相当于在3D的变换上减少一个维度即可）

一、平移：

设某点向x方向移动 dx, y方向移动 dy ,z方向移动dz, [x,y,z]为变换前坐标， [X,Y,Z]为变换后坐标。

则 X = x+dx;  Y = y+dy; Z =z+dz

以矩阵表示：



其中

即为平移矩阵。

二、旋转：

设某点与原点连线和X轴夹角为

度，以原点为圆心，绕z轴逆时针旋转

度  , 原点与该点连线长度为R, [x,y,z]为变换前坐标， [X,Y,Z]为变换后坐标。

ZE


其中

即为旋转矩阵。

同理，假如绕x轴旋转

度，则旋转矩阵为：



绕y轴旋转

度，则旋转矩阵为：



三、缩放：

 设某点坐标，在x轴方向扩大 sx倍，y轴方向扩大 sy倍，z轴方向扩大sz倍，[x,y,z]为变换前坐标， [X,Y,Z]为变换后坐标。

 X = sx*x; Y = sy*y; Z=sz*z



其中

j即为旋转矩阵。

所以复杂的3D模型视图变换都可以分解为上述三种变换，注意矩阵相乘顺序等于变换顺序。