树的表示

1、树tree结构是半线性结构，也是特殊的图。



ri称为r的孩子child，ri之间互称为兄弟sibling，r为其父亲parent，d=degree(r)为r的度degree。

任何树中所含边数=所有点的度数之和=n-1，一棵树的总体规模如果可以度量为边数+顶点数，那么规模也是和边数或者顶点数同阶，衡量相关复杂度时，可以n作为参照。

V中的k+1个节点，通过E中的K条边依次相联，构成一条路径path。路径长度是k，环路vk=v0。节点之间均有路径，称作连通图connected；不含环路，称为无环图acyclic。

树：无环连通图、极小连通图、极大无环图。任一节点v与根之间存在唯一的路径。Path(v,r)=path(v)，v点对应路径path的长度称为深度depth(v)。path(v)上的节点称为祖先ancestor，v是它们的后代descendent。根节点是所有节点的公共祖先，深度为0。没有后代的节点称为叶子leaf，所有叶子深度的最大者称为树（子树）的高度。空树的高度取作-1。

任一节点的深度和高度之和不会超过全树的高度

depth(v)+height(v)<=height(T)



2、二叉树

（a）树的表示



时间性能：parent():O(1) root():O(n)或O(1);

frstchild():O(n) nextSibling():O(n);

（b）二叉树binarytree：节点度数不超过2的树，深度为K的节点，至多2k；含n个节点、高度为h的二叉树中h<n<2h+1；满二叉树的节点总共2h+1-1。宽度是高度的指数倍。真二叉树：每个节点度数只能是0或者是2，不能是奇数1。

通过二叉树来描述多叉树：凡是有根且有序的树都可以用binary tree描述。利用长子-兄弟表示法，过程如下图，最右侧为转换出来的二叉树图形。



（c）二叉树的表示



Ø BinNode模板类：

#define BinNodePosi(T) BinNode<T>*  //节点位置
template <typename  T> struct BinNode{
BinNodePosi(T) parent,lChild,rChild; //父亲，左孩子，右孩子
T data;int height;int size();
BinNodePosi(T) insertAsLC(T const &); //作为左孩子插入
BinNodePosi(T) insertAsRC(T const &);//作为右孩子插入
BinNodePosi(T) succ();    //当前节点的直接后继
template <typename VST> void travLevel(VST &);//子树层次遍历
template <typename VST> void travPrev(VST &);//子树先序遍历
template <typename VST> void travIn(VST &);//子树中序遍历
template <typename VST> void travPost(VST &);//子树后序遍历
};

Ø BinNode接口实现：

t

template <typename T> BinNodePosi(T) BinNode<T>::insertAsLC(T const &e)
{
return lChild=new BinNode(e,this); //父节点this,并作为左孩子，O(1)
}
template <typename T> BinNodePosi(T) BinNode<T>::insertAsRC(T const &e)
{
return rChild=new BinNode(e,this);//父节点this，并作为右孩子,O(1)
}
template <typename T> int BinNode<T>::size()
{
int s=1;  //本身
if(lChild) s+=lChild->size(); //左子树规模
if(rChild) s+=rChild->size();//右子树规模
return s;
}复杂度是 O(n)

Ø BinTree模板类：

template <typename T> class BinTree
{
protected:
int _size;
BinNodePosi(T) _root;  //根节点
virtual int updateHeight(BinNodePosi(T) x);//更新节点高度重载
void updateHeightAbove(BinNodePosi(T) x);//更新x及祖先高度
public:
int size() const{return _size;} //规模
bool empty() const{return !_root;} //判空
BinNodePosi(T) root() const{return _root};//树根
...
};

Ø 高度更新：

#define stature(p) ((p)?(p->height):-1) //如果为空则为-1
template <typename T>
int BinTree<T>::updateHeight(BinNodePosi(T) x)
{//返回左子树和右子树中的最大值+1
return x->height=1+max(stature(1->lChild),stature(1->rChild));
}
template <typename T>
void BinTree<T>::updateHeightAbove(BinNodePosi(T) x)
{//当x一直到根的parent时结束，否则更新祖先高度和x,O(n=depth())
while(x)
{
updateHeight();
x=x->parent;
}
}

Ø 节点插入：

template <typename T> BinNodePosi(T)
BinTree<T>::insertAsRC(BinNodePosi(T) x,T const &e)//作为x右孩子插入
{
_size++;
x->insertAsRC(e);//调用节点的插入函数
updateHeightAbove(x);  //更新祖先的高度
return x->rchild;
}