点乘与叉乘


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在数学中，数量积（也称为内积、标量积、点积、点乘）是接受在实数R上的两个向量并返回一个实数值标量的二元运算。它是欧几里得空间的标准内积。

几何学定义与例子

两个向量a = [a1, a2,…, an]和b =
[b1, b2,…, bn]的点积定义为:



这里的Σ指示总和符号。

例如，两个三维向量[1, 3, −5]和[4, −2, −1]的点积是


。
使用矩阵乘法并把（纵列）向量当作n×1 矩阵，点积还可以写为:


，
这里的bT指示矩阵b的转置。

使用上面的例子，将一个1×3矩阵（就是行向量）乘以一个3×1向量得到结果(通过矩阵乘法的优势得到1×1矩阵也就是标量):


。

几何解释

A·B = |A| |B| cos(θ).

|A| cos(θ)是A到B的投影。

在欧几里得空间中，点积可以直观地定义为


,
这里 |x| 表示x的范数（长度），θ表示两个向量之间的角度。

注意：点积的形式定义和这个定义不同；在形式定义中，a和b的夹角是通过上述等式定义的。

这样，两个互相垂直的向量的点积总是零。若a和b都是单位向量（长度为1），它们的点积就是它们的夹角的余弦。那么，给定两个向量，它们之间的夹角可以通过下列公式得到：



这个运算可以简单地理解为：在点积运算中，第一个向量投影到第二个向量上（这里，向量的顺序是不重要的，点积运算是可交换的），然后通过除以它们的标量长度来“标准化”。这样，这个分数一定是小于等于1的，可以简单地转化成一个角度值。

需要注意的是，点积的几何解释通常只适用于

(

)。在高维空间，其他的域或模中，点积只有一个定义，那就是



点积可以用来计算合力和功。若b为单位向量，则点积即为a在方向b的投影，即给出了力在这个方向上的分解。功即是力和位移的点积。

注：这样引出内积概念更加自然



转载自：实用多元统计分析