指数分布的定义形式及应用

转载请注明出处：/article/7681942.html

指数分布是连续型随机变量，指数分布具有无记忆性，指数分布是特殊的gamma分布。

指数分布（Exponential distribution）是一种连续概率分布。指数分布可以用来表示独立随机事件发生的时间间隔，比如旅客进机场的时间间隔、中文维基百科新条目出现的时间间隔等等。

指数分布的定义形式：



λ就表示平均每单位时间发生该事件的次数，是指数函数的分布参数；f(x:λ) = λe^(-λx),表示在该时刻发生时间的概率。比如放射性衰变就遵循这一分布，这里的半衰期就对应1/λ.





指数分布的期望为1/Lamta,方差为1/Lamta^2。

指数分布中最关键的一点，如何理解率参数。给定独立同分布样本x
= (x1, ...,xn)，最大化似然概率得到参数的似然值为：
lamta^ = 1/x;
指数分布表示随机变量的概率只与时间间隔有关，而与时间起点无关。数学语言表达为：
p(T>s+t | T >t ) = p(T>s) for all s,t >= 0

指数分布常用来描述“寿命”类随机变量的分布，例如家电使用寿命，动植物寿命，电话问题里的通话时间等等。“寿命”类分布的方差非常大，以致于已经使用的时间是可以忽略不计的。

例如有一种电池标称可以充放电500次（平均寿命），但实际上，很多充放电次数数倍于500次的电池仍然在正常使用，也用很多电池没有使用几次就坏了——这是正常的，不是厂方欺骗你，是因为方差太大的缘故。随机取一节电池，求它还能继续使用300次的概率，我们认为与这节电池是否使用过与曾经使用过多少次是没有关系的。

有人戏称服从指数分布的随机变量是“永远年轻的”，一个60岁的老人与一个刚出生的婴儿，他们能够再活十年的概率是相等的，你相信吗？——如果人的寿命确实是服从指数分布的话，回答是肯定的。

贴一道题加深理解



再贴一个关于指数分布与gamma分布的例子：（百度上找的）

链接：http://zhidao.baidu.com/link?url=TTAlOOWbxAQhbYdeQLTFvwe8pMb7MHF80F7fHY8QvsRLuBpw3AcSVD6ITuixIedcC6GS9f-cH0m0U7JsrJRTKSGVW6WtokSlLfmNIJAV0EG