二分

要知道，只有一个算法的时间复杂度是log（n）

没错，那就是二分查找！

关于二分查找法

二分查找法主要是解决在“一堆数中找出指定的数”这类问题。

而想要应用二分查找法，这“一堆数”必须有一下特征：

存储在数组中
有序排列

所以如果是用链表存储的，就无法在其上应用二分查找法了。

至于是顺序递增排列还是递减排列，数组中是否存在相同的元素都不要紧。不过一般情况，我们还是希望并假设数组是递增排列，数组中的元素互不相同。

二分查找法的基本实现

二分查找法在算法家族大类中属于“分治法”，分治法基本都可以用递归来实现的，二分查找法的递归实现如下：

int bsearch(int array[], int low, int high, int target)
{
    if (low > high) return -1;
    
    int mid = (low + high)/2;
    if (array[mid]> target)
        return    binarysearch(array, low, mid -1, target);
    if (array[mid]< target)
        return    binarysearch(array, mid+1, high, target);
    
    //if (midValue == target)
        return mid;
}

不过所有的递归都可以自行定义stack来解递归，所以二分查找法也可以不用递归实现，而且它的非递归实现甚至可以不用栈，因为二分的递归其实是尾递归，它不关心递归前的所有信息。

int bsearchWithoutRecursion(int array[], int low, int high, int target)
{
    while(low <= high)
    {
        int mid = (low + high)/2;
        if (array[mid] > target)
            high = mid - 1;
        else if (array[mid] < target)
            low = mid + 1;
        else //find the target
            return mid;
    }
    //the array does not contain the target
    return -1;
}

只用小于比较（<）实现二分查找法

在前面的二分查找实现中，我们既用到了小于比较（<）也用到了大于比较（>），也可能还需要相等比较（==）。

而实际上我们只需要一个小于比较（<）就可以。因为错逻辑上讲a>b和b<a应该是有相当的逻辑值；而a==b则是等价于 !((a<b)||(b<a))，也就是说a既不小于b，也不大于b。

当然在程序的世界里， 这种关系逻辑其实并不是完全正确。另外，C++还允许对对象进行运算符的重载，因此开发人员完全可以随意设计和实现这些关系运算符的逻辑值。

不过在整型数据面前，这些关系运算符之间的逻辑关系还是成立的，而且在开发过程中，我们还是会遵循这些逻辑等价关系来重载关系运算符。

干嘛要搞得那么羞涩，只用一个关系运算符呢？因为这样可以为二分查找法写一个template，又能减少对目标对象的要求。模板会是这样的：

template <typename T, typename V>
inline int BSearch(T& array, int low, int high, V& target)
{
    while(!(high < low))
    {
        int mid = (low + high)/2;
        if (target < array[mid])
            high = mid - 1;
        else if (array[mid] < target)
            low = mid + 1;
        else //find the target
            return mid;
    }
    //the array does not contain the target
    return -1; 
}

我们需要求target的类型V有重载小于运算符就可以。而对于V的集合类型T，则需要有[]运算符的重载。当然其内部实现必须是O(1)的复杂度，否则也就失去了二分查找的效率。

用二分查找法找寻边界值

之前的都是在数组中找到一个数要与目标相等，如果不存在则返回-1。我们也可以用二分查找法找寻边界值，也就是说在有序数组中找到“正好大于（小于）目标数”的那个数。

用数学的表述方式就是：

在集合中找到一个大于（小于）目标数t的数x，使得集合中的任意数要么大于（小于）等于x，要么小于（大于）等于t。

举例来说：

给予数组和目标数

int array = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17};
int target = 7;

那么上界值应该是11，因为它“刚刚好”大于7；下届值则是5，因为它“刚刚好”小于7。

用二分查找法找寻上届

//Find the fisrt element, whose value is larger than target, in a sorted array 
int BSearchUpperBound(int array[], int low, int high, int target)
{
    //Array is empty or target is larger than any every element in array 
    if(low > high || target >= array[high]) return -1;
    
    int mid = (low + high) / 2;
    while (high > low)
    {
        if (array[mid] > target)
            high = mid;
        else
            low = mid + 1;
        
        mid = (low + high) / 2;
    }

    return mid;
}

与精确查找不同之处在于，精确查找分成三类：大于，小于，等于（目标数）。而界限查找则分成了两类：大于和不大于。

如果当前找到的数大于目标数时，它可能就是我们要找的数，所以需要保留这个索引，也因此if (array[mid] > target)时 high=mid; 而没有减1。

用二分查找法找寻下届

//Find the last element, whose value is less than target, in a sorted array 
int BSearchLowerBound(int array[], int low, int high, int target)
{
    //Array is empty or target is less than any every element in array
    if(high < low  || target <= array[low]) return -1;
    
    int mid = (low + high + 1) / 2; //make mid lean to large side
    while (low < high)
    {
        if (array[mid] < target)
            low = mid;
        else
            high = mid - 1;
        
        mid = (low + high + 1) / 2;
    }

    return mid;
}

下届寻找基本与上届相同，需要注意的是在取中间索引时，使用了向上取整。若同之前一样使用向下取整，那么当low == high-1，而array[low] 又小于 target时就会形成死循环。因为low无法往上爬超过high。

这两个实现都是找严格界限，也就是要大于或者小于。如果要找松散界限，也就是找到大于等于或者小于等于的值（即包含自身），只要对代码稍作修改就好了：

去掉判断数组边界的等号：

target >= array[high]改为 target > array[high]

在与中间值的比较中加上等号：

array[mid] > target改为array[mid] >= target

用二分查找法找寻区域

之前我们使用二分查找法时，都是基于数组中的元素各不相同。假如存在重复数据，而数组依然有序，那么我们还是可以用二分查找法判别目标数是否存在。不过，返回的index就只能是随机的重复数据中的某一个。

此时，我们会希望知道有多少个目标数存在。或者说我们希望数组的区域。

结合前面的界限查找，我们只要找到目标数的严格上届和严格下届，那么界限之间（不包括界限）的数据就是目标数的区域了。

//return type: pair<int, int>
//the fisrt value indicate the begining of range,
//the second value indicate the end of range.
//If target is not find, (-1,-1) will be returned
pair<int, int> SearchRange(int A[], int n, int target) 
{
    pair<int, int> r(-1, -1);
    if (n <= 0) return r;
    
    int lower = BSearchLowerBound(A, 0, n-1, target);
    lower = lower + 1; //move to next element
    
    if(A[lower] == target)
        r.first = lower;
    else //target is not in the array
        return r;
    
    int upper = BSearchUpperBound(A, 0, n-1, target);
    upper = upper < 0? (n-1):(upper - 1); //move to previous element
    
    //since in previous search we had check whether the target is
    //in the array or not, we do not need to check it here again
    r.second = upper;
    
    return r;
}

它的时间复杂度是两次二分查找所用时间的和，也就是O(log n) + O(log n)，最后还是O(log n)。

在轮转后的有序数组上应用二分查找法

之前我们说过二分法是要应用在有序的数组上，如果是无序的，那么比较和二分就没有意义了。

不过还有一种特殊的数组上也同样可以应用，那就是“轮转后的有序数组（Rotated Sorted Array）”。它是有序数组，取期中某一个数为轴，将其之前的所有数都轮转到数组的末尾所得。比如{7, 11, 13, 17, 2, 3, 5}就是一个轮转后的有序数组。非严格意义上讲，有序数组也属于轮转后的有序数组——我们取首元素作为轴进行轮转。

下边就是二分查找法在轮转后的有序数组上的实现（假设数组中不存在相同的元素）

int SearchInRotatedSortedArray(int array[], int low, int high, int target) 
{
    while(low <= high)
    {
        int mid = (low + high) / 2;
        if (target < array[mid])
            if (array[mid] < array[high])//the higher part is sorted
                high = mid - 1; //the target would only be in lower part
            else //the lower part is sorted
                if(target < array[low])//the target is less than all elements in low part
                    low = mid + 1;
                else
                    high = mid - 1;

        else if(array[mid] < target)
            if (array[low] < array[mid])// the lower part is sorted
                low = mid + 1; //the target would only be in higher part
            else //the higher part is sorted
               if (array[high] < target)//the target is larger than all elements in higher part
                    high = mid - 1;
                else
                    low = mid + 1;
        else //if(array[mid] == target)
            return mid;
    }

    return -1;
}

对比普通的二分查找法，为了确定目标数会落在二分后的那个部分，我们需要更多的判定条件。但是我们还是实现了O(log n)的目标。

二分查找法的缺陷

二分查找法的O(log n)让它成为十分高效的算法。不过它的缺陷却也是那么明显的。就在它的限定之上：

必须有序，我们很难保证我们的数组都是有序的。当然可以在构建数组的时候进行排序，可是又落到了第二个瓶颈上：它必须是数组。

数组读取效率是O(1)，可是它的插入和删除某个元素的效率却是O(n)。因而导致构建有序数组变成低效的事情。

解决这些缺陷问题更好的方法应该是使用二叉查找树了，最好自然是自平衡二叉查找树了，自能高效的（O(n log n)）构建有序元素集合，又能如同二分查找法一样快速（O(log
n)）的搜寻目标数。

下面是二叉查找树的基本算法，一块贴上了

/*************************************************************************
  这是一个二叉查找树，实现了以下操作：插入结点、构造二叉树、删除结点、查找、
  查找最大值、查找最小值、查找指定结点的前驱和后继。上述所有操作时间复杂度
  均为o(h),其中h是树的高度
  注释很详细，具体内容就看代码吧
*************************************************************************/

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>

//二叉查找树结点描述
typedef int KeyType;
typedef struct Node
{
	KeyType key;          //关键字
    struct Node * left;   //左孩子指针
	struct Node * right;  //右孩子指针
	struct Node * parent; //指向父节点指针
}Node,*PNode;

//往二叉查找树中插入结点
//插入的话，可能要改变根结点的地址，所以传的是二级指针
void inseart(PNode * root,KeyType key)
{
	//初始化插入结点
	PNode p=(PNode)malloc(sizeof(Node));
	p->key=key;
	p->left=p->right=p->parent=NULL;
	//空树时，直接作为根结点
	if((*root)==NULL){
		*root=p;
		return;
	}
	//插入到当前结点（*root）的左孩子
	if((*root)->left == NULL && (*root)->key > key){
		p->parent=(*root);
        (*root)->left=p;
		return;
	}
	//插入到当前结点（*root）的右孩子
	if((*root)->right == NULL && (*root)->key < key){
		p->parent=(*root);
        (*root)->right=p;
		return;
	}
	if((*root)->key > key)
		inseart(&(*root)->left,key);
	else if((*root)->key < key)
		inseart(&(*root)->right,key);
	else
		return;
}

//查找元素,找到返回关键字的结点指针，没找到返回NULL
PNode search(PNode root,KeyType key)
{
	if(root == NULL)
		return NULL;
	if(key > root->key) //查找右子树
		return search(root->right,key);
	else if(key < root->key) //查找左子树
		return search(root->left,key);
	else
		return root;
}

//查找最小关键字,空树时返回NULL
PNode searchMin(PNode root)
{
	if(root == NULL)
		return NULL;
	if(root->left == NULL)
		return root;
	else  //一直往左孩子找，直到没有左孩子的结点
	    return searchMin(root->left);
}

//查找最大关键字,空树时返回NULL
PNode searchMax(PNode root)
{
	if(root == NULL)
		return NULL;
	if(root->right == NULL)
		return root;
	else  //一直往右孩子找，直到没有右孩子的结点
	    return searchMax(root->right);
}

//查找某个结点的前驱
PNode searchPredecessor(PNode p)
{
    //空树
	if(p==NULL)
		return p;
	//有左子树、左子树中最大的那个
	if(p->left)
    	return searchMax(p->left);
	//无左子树,查找某个结点的右子树遍历完了
	else{
		if(p->parent == NULL)
			return NULL;
		//向上寻找前驱
		while(p){
    		if(p->parent->right == p)
	    		break;
			p=p->parent;
		}
        return p->parent;
	}
}

//查找某个结点的后继
PNode searchSuccessor(PNode p)
{
    //空树
	if(p==NULL)
		return p;
	//有右子树、右子树中最小的那个
	if(p->right)
    	return searchMin(p->right);
	//无右子树,查找某个结点的左子树遍历完了
	else{
		if(p->parent == NULL)
			return NULL;
		//向上寻找后继
		while(p){
    		if(p->parent->left == p)
	    		break;
			p=p->parent;
		}
        return p->parent;
	}
}

//根据关键字删除某个结点,删除成功返回1,否则返回0
//如果把根结点删掉，那么要改变根结点的地址，所以传二级指针
int deleteNode(PNode* root,KeyType key)
{
	PNode q;
	//查找到要删除的结点
	PNode p=search(*root,key);
	KeyType temp;    //暂存后继结点的值
	//没查到此关键字
	if(!p)
		return 0;
	//1.被删结点是叶子结点，直接删除
	if(p->left == NULL && p->right == NULL){
		//只有一个元素，删完之后变成一颗空树
		if(p->parent == NULL){
			free(p);
			(*root)=NULL;
		}else{
			//删除的结点是父节点的左孩子
    		if(p->parent->left == p)
	     		p->parent->left=NULL;
	    	else  //删除的结点是父节点的右孩子
	     		p->parent->right=NULL;
			free(p);
		}
	}

	//2.被删结点只有左子树
	else if(p->left && !(p->right)){
		p->left->parent=p->parent;
		//如果删除是父结点，要改变父节点指针
		if(p->parent == NULL)
			*root=p->left;
		//删除的结点是父节点的左孩子
		else if(p->parent->left == p)
        	p->parent->left=p->left;
		else //删除的结点是父节点的右孩子
			p->parent->right=p->left;
		free(p);
	}
	//3.被删结点只有右孩子
	else if(p->right && !(p->left)){
		p->right->parent=p->parent;
		//如果删除是父结点，要改变父节点指针
		if(p->parent == NULL)
			*root=p->right;
        //删除的结点是父节点的左孩子
		else if(p->parent->left == p)
        	p->parent->left=p->right;
		else //删除的结点是父节点的右孩子
			p->parent->right=p->right;
		free(p);
	}
	//4.被删除的结点既有左孩子，又有右孩子
	//该结点的后继结点肯定无左子树(参考上面查找后继结点函数)
	//删掉后继结点,后继结点的值代替该结点
    else{
		//找到要删除结点的后继
		q=searchSuccessor(p);
        temp=q->key;
		//删除后继结点
        deleteNode(root,q->key);
		p->key=temp;
	}
	return 1;
}

//创建一棵二叉查找树
void create(PNode* root,KeyType *keyArray,int length)
{
	int i;
	//逐个结点插入二叉树中
	for(i=0;i<length;i++)
		inseart(root,keyArray[i]);
}

int main(void)
{
	int i;
    PNode root=NULL;
	KeyType nodeArray[11]={15,6,18,3,7,17,20,2,4,13,9};
	create(&root,nodeArray,11);
	for(i=0;i<2;i++)
		deleteNode(&root,nodeArray[i]);
	printf("%d\n",searchPredecessor(root)->key);
	printf("%d\n",searchSuccessor(root)->key);
	printf("%d\n",searchMin(root)->key);
	printf("%d\n",searchMax(root)->key);
	printf("%d\n",search(root,13)->key);
	return 0;
}