UVA 12297 Super Poker（矩阵快速幂）

想到了一个递推式

f(n,k)=f(n−k,k)+f(n−k,k−1)∗4+f(n−k,k−2)∗6+f(n−k,k−3)∗4+f(n−k,k−4)f(n, k) = f(n-k, k) + f(n-k, k-1) * 4 + f(n-k, k-2) * 6 + f(n-k, k-3) * 4 + f(n-k, k-4)

这里f(n,k)f(n, k)表示用k张牌组成和为N的方案数，在递推的时候考虑一共有多少张1。

①考虑有0张1：这时就相当于用k张没有任何限制的牌组成和为n−kn-k，然后将每张牌的点数+1，这样自然就没有1了，这部分的方案数是f(n−k,k)f(n-k, k)；

②考虑有1张1：这时就相当于用k-1张没有任何限制的牌组成和为n-k，然后将每张牌的点数+1，这样也就没有1了，这时总和是n-1，再从4张1种任选一张1就可以使总和为n，这样就恰好用了k张牌，而且k张牌中只有1个1，这部分的方案数是f(n−k,k−1)∗C(4,1)f(n-k, k-1) * C(4,1)，也就是f(n−k,k−1)∗4f(n-k, k-1) * 4；

③考虑有2张1：……（剩下的情况类似，就不再赘述了）。

但是N比较大，从而使用矩阵快速幂加速计算

矩阵的构造方法比较麻烦，我的思路是这样的

一般的矩阵快速幂都是用来优化一维的递推式，但是我们现在的是二维的递推式，但是因为二维的递推式的列数是相同的，所以我们可以考虑将f(n,k)…f(n,0)、f(n−1,k)…f(n−1,0)…f(0,0)f(n,k)\dots f(n,0)、f(n-1,k)\dots f(n-1,0)\dots f(0,0)这样展开来，从而维持了一维的特性。

同时呢，因为转移的时候是从f(n−k,∗∗)→f(n,k)f(n-k,**)\rightarrow f(n,k)那么我们的快速幂至少要有从最开始到第k项的值

那么这么一想我们就可以构造转移了，只要控制好转移的距离就行了。

[code]//By LH
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;

typedef long long LL;
const int MOD = 1e9+9;
const int d[5] = {1, 4, 6, 4, 1};

int N, K;
LL ans;
LL f[15][15];
LL a[115][115], b[115][115], c[115][115];

void calc()
{
    memset(f[0], 0, sizeof(f[0]));
    f[0][0] = 1;
    for(int i = 1; i <= 10; i ++)
        for(int j = 1; j <= 10; j ++)
        {
            f[i][j] = 0;
            if(i >= j)
            {
                for(int k = 0; k < 5; k ++)
                    if (j - k >= 0) f[i][j] = (f[i][j] + d[k] * f[i - j][j - k]) % MOD;
            }
        }
}

int main()
{
    calc();
    while (scanf("%d %d", &N, &K) != EOF)
    {
        if (N+K == 0) break;
        ans = 0;
        if(N <= 10)
        {
            for(int i = 1; i <= K; i ++)
                ans = (ans + f
[i]) % MOD;
            printf("%lld\n", ans);
            continue;
        }
        memset(a, 0, sizeof(a));
        for(int i = 0; i < K; i++)
        for(int j = 0; j <= K; j++)
            a[i * (K + 1) + j][0] = f[K - 1 - i][j];
        memset(b, 0, sizeof(b));
        for(int j = 1; j <= K; j++)
        {
            for(int k = 0; k < 5; k++)
            if (j-k >= 0) b[j][(j - 1) * (K + 1) + j - k] = d[k];
        }
        for(int i = 1; i < K; i ++)
            for(int j = 0; j <= K; j ++)
                b[i * (K + 1) + j][(i - 1) * (K + 1) + j] = 1;
        int tmp = N-K+1;
        while (tmp)
        {
            if (tmp&1)
            {
                memset(c, 0, sizeof(c));
                for (int i = 0; i < K*(K+1); i++)
                    for (int j = 0; j < K*(K+1); j++)
                        for (int k = 0; k < K*(K+1); k++)
                            c[i][j] = (c[i][j] + b[i][k]*a[k][j])%MOD;
                for (int i = 0; i < K*(K+1); i++)
                    for (int j = 0; j < K*(K+1); j++) a[i][j] = c[i][j];
            }
            memset(c, 0, sizeof(c));
                for (int i = 0; i < K*(K+1); i++)
                    for (int j = 0; j < K*(K+1); j++)
                        for (int k = 0; k < K*(K+1); k++)
                            c[i][j] = (c[i][j] + b[i][k]*b[k][j])%MOD;
                for (int i = 0; i < K*(K+1); i++)
                    for (int j = 0; j < K*(K+1); j++) b[i][j] = c[i][j];
            tmp >>= 1;
        }
        for (int i = 1; i <= K; i++) ans = (ans+a[i][0])%MOD;
        printf("%lld\n", ans);
    }
    return 0;
}