【算法】最长回文子串

最长回文子串

from https://github.com/julycoding/The-Art-Of-Programming-By-July/blob/master/ebook/zh/01.05.md

题目描述

给定一个字符串，求它的最长回文子串的长度。

方法一：暴力枚举

#include "stdafx.h"
#include "stdio.h"
#include "string"
#define MIN(a,b)  (a)>(b)?(b):(a)
//枚举中心位置法
int LongestPalindrome(const char *s ,int n)
{
<span style="white-space:pre">	</span>if (s==NULL || n<1)
<span style="white-space:pre">	</span>{
<span style="white-space:pre">		</span>return -1;
<span style="white-space:pre">	</span>}
<span style="white-space:pre">	</span>int cmax = 0;
<span style="white-space:pre">	</span>int c = 0;
<span style="white-space:pre">	</span>int i,j;
<span style="white-space:pre">	</span>for (i = 0; i<n; i++)
<span style="white-space:pre">	</span>{
<span style="white-space:pre">		</span>for (j = 0;(j<=i) && (j<n-i);j++)
<span style="white-space:pre">		</span>{
<span style="white-space:pre">			</span>if (s[i+j]!=s[i-j])
<span style="white-space:pre">			</span>{
<span style="white-space:pre">				</span>break;
<span style="white-space:pre">			</span>}
<span style="white-space:pre">			</span>c = 2*j+1;
<span style="white-space:pre">		</span>}
<span style="white-space:pre">		</span>if (c>cmax)
<span style="white-space:pre">		</span>{
<span style="white-space:pre">			</span>cmax = c;
<span style="white-space:pre">		</span>}
<span style="white-space:pre">		</span>for (j = 0;j<=i && j<n-i-1;j++)
<span style="white-space:pre">		</span>{
<span style="white-space:pre">			</span>if (s[i+j+1]!=s[i-j])
<span style="white-space:pre">			</span>{
<span style="white-space:pre">				</span>break;
<span style="white-space:pre">			</span>}
<span style="white-space:pre">			</span>c = 2*(j+1);
<span style="white-space:pre">		</span>}
<span style="white-space:pre">		</span>if (c>cmax)
<span style="white-space:pre">		</span>{
<span style="white-space:pre">			</span>cmax = c;
<span style="white-space:pre">		</span>}
<span style="white-space:pre">	</span>}
<span style="white-space:pre">	</span>return cmax;
}

int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
{
char* p = "12212321";
int result = LongestPalindrome(p,8);
int result2 = Manacher(p,8);
return 0;
}

方法二：Manacher算法

int Manacher(const char *s ,int n)
{
int n2 = 2*n+2;
char *s2 = (char*)malloc(n2 * sizeof(char));
int i,j;
s2[0] = '$';
for (i = 1; i<n2 ;i=i+2)
{
s2[i] = '#';
s2[i+1] = s[(i-1)/2];
}

printf("change to : %s\n",s2);

int p[1000],mx = 0,id = 0;
memset(p,0,sizeof(p));
for (i = 1;s2[i] != '\0';i++)
{
p[i] = mx>i?MIN(p[2*id-i],mx - i):1;
while(s2[i+p[i]] == s2[i-p[i]])
p[i]++;
if (i+p[i]>mx)
{
mx = i+p[i];
id = i;
}
}
int m = 0;
for (i = 1;i<n2;i++)
{
if (p[i]>m)
{
m = p[i];
}
}

return m-1;
}

原理部分：

首先通过在每个字符的两边都插入一个特殊的符号，将所有可能的奇数或偶数长度的回文子串都转换成了奇数长度。比如 abba 变成 #a#b#b#a#， aba变成 #a#b#a#。

此外，为了进一步减少编码的复杂度，可以在字符串的开始加入另一个特殊字符，这样就不用特殊处理越界问题，比如$#a#b#a#。

以字符串12212321为例，插入#和$这两个特殊符号，变成了 S[] = "$#1#2#2#1#2#3#2#1#"，然后用一个数组 P[i] 来记录以字符S[i]为中心的最长回文子串向左或向右扩张的长度（包括S[i]）。

比如S和P的对应关系：

S # 1 # 2 # 2 # 1 # 2 # 3 # 2 # 1 #
P 1 2 1 2 5 2 1 4 1 2 1 6 1 2 1 2 1

可以看出，P[i]-1正好是原字符串中最长回文串的总长度，为5。

接下来怎么计算P[i]呢？Manacher算法增加两个辅助变量id和mx，其中id表示最大回文子串中心的位置，mx则为id+P[id]，也就是最大回文子串的边界。得到一个很重要的结论：

如果mx > i，那么P[i] >= Min(P[2 * id - i], mx - i)

下面，令j = 2*id - i，也就是说j是i关于id的对称点。

当 mx - i > P[j] 的时候，以S[j]为中心的回文子串包含在以S[id]为中心的回文子串中，由于i和j对称，以S[i]为中心的回文子串必然包含在以S[id]为中心的回文子串中，所以必有P[i] = P[j]；





当 P[j] >= mx - i 的时候，以S[j]为中心的回文子串不一定完全包含于以S[id]为中心的回文子串中，但是基于对称性可知，下图中两个绿框所包围的部分是相同的，也就是说以S[i]为中心的回文子串，其向右至少会扩张到mx的位置，也就是说 P[i] >= mx - i。至于mx之后的部分是否对称，再具体匹配。





此外，对于 mx <= i 的情况，因为无法对 P[i]做更多的假设，只能让P[i] = 1，然后再去匹配。