经典算法大全——费式数列

本博客转载于：http://m.blog.csdn.net/blog/a631855639/41346175

背景说明

Fibonacci为1200年代的欧洲数学家,在他的着作中曾经提到:「若有一只免子每个月生一只小免子,一个月后小免子也开始生产。起初
只有一只免子,一个月后就有两只免子,二个月后有三只免子,三个月后有五只免子(小免子投入生产)......。如果不太理解这个例子的
话,举个图就知道了,注意新生的小免子需一个月成长期才会投入生产,类似的道理也可以用于植物的生长,这就是Fibonacci数列,一般
习惯称之为费氏数列,例如以下: 1、1 、2、3、5、8、13、21、34、55、89......

算法说明

仔细观察这个数列，会发现，除了第1个数和第2个数除外，从第3个数开始，第N个数等于它前面两个数之和，也就是这个数列的通项公式为f(n)=f(n-1)+f(n-2) (n>=2,n∈正整数)。

解法

这道题，就像是我们高中时的数学题，就是给一个背景，然后算第N项或者前N项和。我们一般的步骤都是先找数列的关系，然后推导出它的通项公式，在求解。而费氏数列的通项公式就是如下：
① f(n)=n,(n<=1,n∈正整数)
② f(n)=f(n-1)+f(n-2) (n>=2,n∈正整数)
所以，根据这个通项公式，我们就可以求解了。

public class 费式数列 {

	/**
	 * @author Helen
	 * Nov 21, 2014 10:30:46 AM
	 * @param args
	 * void
	 * TODO
	 */
	public static void main(String[] args) {
		int n;
		Scanner input=new Scanner(System.in);
		System.out.println("请输入N:");
		n=input.nextInt();
		input.close();
		long t=System.currentTimeMillis();
		cal(n);
		System.out.println();
		System.out.println("cal耗时:"+(System.currentTimeMillis()-t));
		t=System.currentTimeMillis();
		for (int i = 1; i < n; i++) {
			System.out.print(cal2(i)+",");
		}
		System.out.println();
		System.out.println("cal2耗时:"+(System.currentTimeMillis()-t));
	}
	
	public static void cal(int n){
		int[] Fib=new int
;
		//f(n)=n,if n=0,n=1
		Fib[0]=0;
		Fib[1]=1;
		//f(n)=f(n-1)+f(n-2),if n>=2
		for (int i = 2; i < Fib.length; i++) {
			Fib[i]=Fib[i-1]+Fib[i-2];
		}
		for (int i : Fib) {
			System.out.print(i+",");
		}
	}
	/**
	 * 
	 * @author Helen
	 * Nov 21, 2014 11:13:56 AM
	 * @param n
	 * @return
	 * int
	 * TODO 递归(耗时)
	 */
	public static int cal2(int n){
		if(n==0||n==1){
			return n;
		}else{
			return cal2(n-1)+cal2(n-2);
		}
	}
}

第一种是常规算法，每次都将计算后的数保存到一个数组里面，这样在计算第N个数的时候就可以从数组里直接取出第N-1和第N-2的数了；第二种递归算法是比较耗时的，可以看出第二种每次计算第N个数时，它都要从第0(或1)个开始算起。