[问题2015S13] 复旦高等代数 II（14级）每周一题（第十四教学周）

[问题2015S13] 设 \(A=(a_{ij})\) 为 \(n\) 阶实矩阵, 定义函数 \[f(A)=\sum_{i,j=1}^na_{ij}^2.\] 设 \(P\) 为 \(n\) 阶非异实矩阵, 满足: 对任意的 \(A\in M_n(\mathbb{R})\), 成立 \[f(PAP^{-1})=f(A).\] 证明: 存在非零实数 \(c\), 使得 \(PP'=cI_n\).

注 这是 [问题2014S08] 实数域上的版本，当时我们用的是基础矩阵的方法来证明的。现在，我要求大家用第九章内积空间的方法来重新证明它。以下是两种可选择的方法，请大家自行选择其中的一种来进行证明：

(1) 引入 \(M_n(\mathbb{R})\) 上的 Frobenius 内积, 并构造一个线性算子, 然后证明它是正交算子, 并用正交算子的伴随刻画 (复旦高代书定理 9.4.2) 来证明本题;

(2) 对 \(P\) 进行奇异值分解 (复旦高代书推论 9.9.1), 并将 \(P\) 化约为对角阵的情形来证明本题.

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