[博弈论]hiho#1173 : 博弈游戏·Nim游戏·三

首先给出基本定义：

对于一个游戏可能发生的局面x，我们如下定义它的sg值：

(1)若当前局面x为终结局面，则sg值为0。

(2)若当前局面x非终结局面，其sg值为：sg(x) = mex{sg(y) | y是x的后继局面}。

mex{a[i]}表示a中未出现的最小非负整数。举个例子来说：

mex{0, 1, 2} = 3, mex{1, 2}=0, mex{0,1,3}=2

sg定理：

对于多个单一游戏，X=x[1..n]，每一次我们只能改变其中一个单一游戏的局面。则其总局面的sg值等于这些单一游戏的sg值异或和。

即：

sg(X) = sg(x[1]) xor sg(x[2]) xor … xor sg(x
)

要证明这一点我们只要证明：

(1) 假设sg(x[1]) xor sg(x[2]) xor … xor sg(x
) = A，对于任意一个0 <= B < A，总存在一个X的后续局面Y，使得sg(Y) = B。

(2) 假设sg(x[1]) xor sg(x[2]) xor … xor sg(x
) = A，不存在一个X的后续局面Y，使得sg(Y) = A。

这是hiho里给出的解释，首先给出了定理，然后解释了定理并证明了，然后结合问题分析了问题应该怎么做。标准的中国式例题讲解思维。确实这样的逻辑会比较符合大多数人的思维。但是这里面是否又有些值得深思的呢？

代码就是依据定理来写的，求出所有的sg[].

另外，对于这个题每个sg值就有两种可能：

(1)不分堆：石子数量为k’=0..k-1，则sg(k’)

(2)分堆：石子变为2堆，数量为(1,k-1),(2,k-2),…,(k-1,1)。设第一堆的石子数量为i，则sg值为sg(i) xor sg(k-i)。(这里用到了sg定理)

那么可以推算出sg(k) = mex{sg(0), sg(i), sg(i) xor sg(k - i) | i = 1..k-1}。

[code]#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <iostream>
#include <vector>
#include <map>
#include <set>
#include <queue>
#include <algorithm>
#define read freopen("q.in","r",stdin)
#define LL __int64
#define maxn 20004
#define inf 10000000
#define mod 142857
using namespace std;
int sg[maxn],a[maxn];
bool vis[maxn];
void Accepted()
{
    int i,j;
    sg[0]=0;

    for(i=1;i<=maxn;i++)
    {
        memset(vis,0,sizeof(vis));
        for(j=0;j<i;j++)
        {
            int t=sg[j]^sg[i-j];
            vis[sg[j]]=1;
            vis[t]=1;
        }
        for(j=0;j<maxn;j++)if(!vis[j])
        {
            sg[i]=j;
            break;
        }

    }
}
int main()
{
   int n,i,j,x;
   Accepted();
   scanf("%d",&n);
   int res;
   scanf("%d",&x);
   res=sg[x];
   for(i=1;i<n;i++)
   {
       scanf("%d",&x);
       res^=sg[x];
   }
   if(!res)cout<<"Bob"<<endl;
   else cout<<"Alice"<<endl;

}