Fibonacci的组合数通项公式

$ Fibonacci是形如这样的数列\{{a_n}\} ， \forall n \in N 有：$

$\quad a_n = \begin{cases} a_{n-1} + a_{n-2} & n \geqslant 2 \\ 0 & n = 0, 1 \end{cases} $

$ 根据特征根方程易得通项公式为：$

$\quad a_n = \frac{1}{\sqrt{5}} \Bigl[ \Bigl( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \Bigr) ^ n - \Bigl( \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \Bigr) ^ n \Bigr] $

$ 现在考虑这样一个有趣的问题：爬楼梯，但是每次只能上1级或2级台阶，试问爬至第n级阶梯共有多少种走法 $

$ 记爬至第n级阶梯共有 a_n 种走法，则由加法原理易得：a_n = a_{n-1} + a_{n_2}，其中 a_0 = a_1 = 1. $

$ 另一方面，假设在某种走法中，走了 x 次1级阶梯， y 次2级阶梯，即共走了 (x+y) 次，合计 (x+2y = n) 级阶梯，$

$ 即相当于从 (x+y) 次中选择 y 次走2级阶梯有多少种选法：$

$ \therefore a_n = \sum {C^y_{x+y}} = \sum_{k=0}^{[n/2]} {C^k_{n-k}} = {C^0_n} + {C^1_{n-1}} + ... + {C^{[n/2]}_{n-[n/2]}}$

$ 证略（数学归纳法）$

$ 推广到多项的Fibonacci数列， a_n = a_{n-1} + a_{n-2} + ... + a_{n-k} = \sum^k_{i=1} a_{n-i} $

$ 其组合数通项公式可表示为：$

$\quad a_n = \sum {\prod^k_{i=1} {C^{x_i}_{x_{i+1}}}} $

$ 其中，\sum^{k+1}_{i=1} {x_i} = x_1 + x_2 + ... + x_k + x_{k+1} = n； $

$\quad 0 \leqslant x_1 \leqslant x_2 \leqslant ... \leqslant x_k \leqslant x_{k+1}， x_i \in N，i = 1, 2, ... k, k+1. $

$\quad \sum {\prod^k_{i=1} {C^{x_i}_{x_{i+1}}}} 表示所有可能的乘积 {C^{x_1}_{x_2}}·{C^{x_2}_{x_3}}· ... ·{C^{x_k}_{x_{k+1}}}的总和 $

$ 推导略（分步考虑，乘法原理）$