对论文《最大最小定理》的简单理解
2015-06-04 10:33
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König定理的证明
最大匹配数不超过最小覆盖数
显然成立。两两匹配的节点中至少选一个。否则必有边不匹配。
任取一个最小覆盖Q,一定可以构造出一个与之大小相等的匹配M
显然成立。每个点连一条匹配边,则这条边的另一端一定可以是一个不在覆盖中的点(否则可以把这个点删掉,则不是最小覆盖)。故匹配与之大小相等。
同理,证明最大独立集的大小等于最小边覆盖数时,首先独立集不大于最小边覆盖(集合中每个点的“另一端”都不在集合中,这些边必选一条,且没有重合),其次最小边覆盖一定对应一个独立集(每个边的端点选一个,则一定可以不选重。若两个点都不能选,这条边应该拆掉,与最小矛盾)。
平面图及其对偶图
平面图G与其对偶图G*中必有G*中的环对应G中的割一一对应
注意:这些割未必是s-t的割
理解:因为每个回路至少把一个点“圈”进来,并且一定有点在“圈”外面
一条从s*到t*的路径,就对应了一个s-t割!
理解:必然有一个点在“圈”里面,一个点在“圈”外面
最大匹配数不超过最小覆盖数
显然成立。两两匹配的节点中至少选一个。否则必有边不匹配。
任取一个最小覆盖Q,一定可以构造出一个与之大小相等的匹配M
显然成立。每个点连一条匹配边,则这条边的另一端一定可以是一个不在覆盖中的点(否则可以把这个点删掉,则不是最小覆盖)。故匹配与之大小相等。
同理,证明最大独立集的大小等于最小边覆盖数时,首先独立集不大于最小边覆盖(集合中每个点的“另一端”都不在集合中,这些边必选一条,且没有重合),其次最小边覆盖一定对应一个独立集(每个边的端点选一个,则一定可以不选重。若两个点都不能选,这条边应该拆掉,与最小矛盾)。
平面图及其对偶图
平面图G与其对偶图G*中必有G*中的环对应G中的割一一对应
注意:这些割未必是s-t的割
理解:因为每个回路至少把一个点“圈”进来,并且一定有点在“圈”外面
一条从s*到t*的路径,就对应了一个s-t割!
理解:必然有一个点在“圈”里面,一个点在“圈”外面
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