BZOJ1485 有趣的数列

题目：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1485

首先有一个显而易见的结论：

对于任意的 $a(i)$ ($i$为偶数) 有 $a(i) > a(j) (0<j<i)$

然后有 $a(i) > 2 \cdot i$ (只考虑选出n个偶数项)

$f[i][j]$ 表示前$i$个，最大的数为 $j$ 的方案数，然后 $O(n^2)$ TLE

打表发现是catalan数，然后就没有然后了。

将$n!$的质因数分解然后计算$C(n,2 \cdot n)/(n+1)$相当于计算出所有质数，然后计算他们各自在答案中的指数，最后乘起来。

然后$O(nlogn)$AC。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>

#define N 2000010
#define LL long long

using namespace std;

int n,P,fact
,f
;
bool pri
;

// h
= C(2n,n)/(n+1) (mod P)

inline LL qpow(LL x,LL n){
LL ans=1;
for(;n;n>>=1,x=x*x%P)
if(n&1) ans=ans*x%P;
return ans;
}

inline void Fac(int n,int v){
for(int i=2;i<=n;i++) f[i]=i;
for(int i=2,j;i<=n;i++){
if(pri[i]) continue;
for(j=i;j<=n;j+=i){
if(j>i) pri[j]=1;
while(f[j]%i==0){
f[j]/=i;
fact[i]+=v;
}
}
}
}

int main(){
scanf("%d%d",&n,&P);
Fac(2*n,1);
Fac(n,-2);
int x=n+1;
for(int i=2;i<=n+1&&x>1;i++){
if(pri[i]) continue;
while(x%i==0) x/=i,fact[i]--;
}
LL ans=1;
for(int i=2;i<=2*n;i++){
if(pri[i]) continue;
ans=ans*qpow(i,fact[i])%P;
}
printf("%d\n",ans);
return 0;
}

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