扩展欧几里得应用分析

原理推导：

首先我们定义：设a和b不全为0，则存在整数x和y，使得gcd（a，b）=ax+by。这就是扩展欧几里得的算法描述。

扩展欧几里得算法是用来求解二元一次方程。对于方程Ax+By=C，其中A,B,C为整数，求出满足等式的整数x和y。考虑到给出的方程不一定是最简形式，所以我们需要先化为最简式，设d=gcd（A,B），那么化简后的方程为：ax+by=c，其中a=A/d,b=B/d,c=C/d;

此时，gcd（a，b）=1，先将方程ax+by=gcd(a,b)=1解出后，设x0,y0为方程的特解，那么原方程的最终解为c*x0,c*y0.现在问题来了，怎么求方程ax+by=1的解呢？这就是我们要讨论的扩展欧几里得了。

扩展欧几里得是求方程ax+by=gcd(a,b)的解。设a>b,当b=0时，gcd（a，b）=a，此时x=1，y=0;否则我们设：

a*x1+b*y1=gcd(a,b);

b*x2+(a mod b)*y2=gcd(b,a mod b);

在欧几里得算法中，我们有gcd(a,b)=gcd(b.a mod b)，所以我们进一步得到:

a*x1+b*y1 = b*x2+(a mod b)*y2 = b*x2+(a-|_ a/b _|*b)*y2 = a*y2+b*(x2-|_ a/b _|*y2);

所以有:x1=y2; y1=x2-|_ a/b _|*y2;

举个例子来说吧，考虑二元一次方程48x+30y=gcd(48,30)，我们先通过欧几里得递归求出它们的最大公约数6，然后逐层回溯得到x和y：

递归过程：48=1×30+18

30=1×18+12

18=1×12+6

12=2×6+0

回溯过程：6=18-（1×12）

=18-1×（30-18×1）

=18-1×（30-（48-30×1）×1）

=48×2-30×3

递归实现代码如下：

void exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y)
{
if(b==0)
{
x=1;
y=0;
return;
}
exgcd(b,a%b,x,y);
LL t=x;
x=y;
y=t-a/b*y;
}

非递归实现代码如下：

typedef long long LL;
LL exgcd(LL m,LL &x,LL n,LL &y)
{
LL x1,y1,x0,y0;
x0=1;x1=0;
y0=0;y1=1;
LL r=(m%n+n)%n;
LL t=(m-r)/n;
x=0;y=1;
while(r)
{
x=x0-t*x1;
y=y0-t*y1;
x0=x1;y0=y1;
x1=x;y1=y;
m=n;n=r;r=m%n;
t=(m-r)/n;
}
return n;
}

应用与分析：

上面讲了扩展欧几里得算法的原理，通过这个方法可以得到二元一次方程的特解，实际上，得到特解之后，就可以得到通解，如下：

x=c*x0-b*t;

y=c*y0+a*t;

其中t∈Z,将上述解代入方程，有：

ax+by=a*(c*x0-b*t)+b*(c*y0+a*t)=a*c*x0+b*c*y0=(a*x0+b*y0)*c=c;

在ACM中，扩展欧几里得的应用主要包括：

（1）求解不定方程；

（2）求解模的逆元；

（3）求解同余方程；

例题：

POJ1061µhttp://poj.org/problem?id=1061

http://acm.hit.edu.cn/hoj/problem/view?id=2815

http://poj.org/problem?id=2142

http://codeforces.com/problemset/problem/7/C