贪心算法—活动选择问题

4.1 活动选择问题

1．问题的理解与描述

假定有n个需要使用同一个这样的资源的活动，每次只能有一个活动使用该资源。每一个活动有一个开始时间 si，一个完成时间 fi，其中0 ≤ si < fi < ∞。如果区间[si , fi)和[sj , fj)不相交，活动ai和aj是相容的（即如果si≥ fj 或 sj ≤ fi，ai和aj相容）。活动选择问题是选取一个由相容活动构成的最大集合。

输入：按完成时间排好序的活动开始时间数组s，完成时间数组 f。

输出：表示一个最大的相容活动组的向量{x1, x2, …, xn}，其中

xi={01第i个活动在此最大相容活动组中否则，i1,2,...,n。x_i=
\begin{cases}
0& \text{第i个活动在此最大相容活动组中}\\
1& \text{否则}
\end{cases}，i1,2,...,n。

2．最优子结构

定义集合

Sij=ak∈S:fi≤sk<fk≤sjSij = {a_k ∈ S : fi ≤ sk < fk≤ sj} ,为表示整个问题，添加两个假想的活动a0和an+1并约定f0 = 0及sn+1 = ∞。于是S = S0 n+1，而i和j的取值范围为0 ≤ i，j ≤ n + 1。显然只要i≥ j，就有Sij =∅。假定Sij的一个解包含活动ak，每一个都构成Sij中的活动的子集。设Aij是Sij的一个最优解，ak∈Aija_k∈A_{ij}。利用aka_k产生两个子问题: Sik和SkjS_{ik}和S_{kj}，则Aij中Sik的解Aik和Skj的解Akj必对于: Sik和Skj也是最优的。

3．贪婪选择性

定理4-1

考虑任一非空子问题Sij，并设am为Sij中最早完成的一个活动：

fm=minfk:ak∈Sijf_m = min {f_k : a_k ∈ S_{ij}}。

则

（1）活动ama_m包含在SijS_{ij}的一个最大相容活动子集合中。

（2）子问题SimS_{im}是空的，所以选择ama_m将使得SmjS_{mj}成为仅有的非空子问题。

４．算法的伪代码描述

RECURSIVE-ACTIVITY-SELECTOR (s, f, i, j)
1 m ← i + 1
2 while m < j 且 sm < fi 求Sij中的第一个活动
3   do xm←0
4     m ← m + 1
5 if m < j
6   then xm←1
7       RECURSIVE-ACTIVITY-SELECTOR (s, f, m, j)

算法运行时间：Θ(n)

5 C++代码实现

#ifndef _GREEDYACTIVITYSELECT_H
#define _GREEDYACTIVITYSELECT_H

int* RecusiveActivitySelector(int* s, int* f,int i,int j);
#endif

#include "GreedyActivitySelect.h"

int* RecusiveActivitySelector(int* s, int* f,int i,int j)
{

static int * x=new int[j];
int m=i+1;
while(m<j&&s[m]<f[i])//求s[ij]中的第一个活动
{
x[m]=0;
m++;
}
if(m<j)
{
x[m]=1;
RecusiveActivitySelector(s,f,m,j);
}
return x;

}

#include "GreedyActivitySelect.h"
#include <limits>
#include <iostream>
using namespace std;

int main(int argc,char** argv)
{
int* x;
int s[]={0,1,3,0,5,3,5,6,8,8,2,12,numeric_limits<int>::max()},
f[]={0,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,numeric_limits<int>::max()};
x=RecusiveActivitySelector(s,f,0,12);
for(int i=1;i<12;i++)
cout<<x[i]<<"  ";
cout<<endl;
delete[]x;
system("pause");
return (EXIT_SUCCESS);
}

运行结果：1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1