傅里叶变换、拉普拉斯变换、Z变换

上一部分我们通过级数的概念引出了傅里叶变换的来源。通过欧拉公式ejθ=cos(θ)+jsin(θ)e^{j\theta }=cos(\theta)+jsin(\theta)可以将三角函数形式以an,bna_{n},b_{n}为系数的傅里叶级数展开，变成复函数形式以cnc_{n}为系数的傅里叶展开。总结起来就是：傅里叶级数是函数在傅里叶空间中以 ejnΩte^{jn\Omega t}为基的展开式。其中系数cnc_{n}就是函数在对应基下的投影。需要注意的是我们这里讲的傅里叶级数展开式对于周期信号的，上面公式里面的Ω=2π/T\Omega = 2\pi / T,这里的TT这是对应需要展开信号的周期。

那么对应于非周期信号，我们如何求傅里叶级数呢？这个思路是把非周期信号仍然当做周期信号，不过这里的周期 T→∞T \rightarrow \infty。这样我们可以借助周期信号的傅里叶级数来推导非周期信号的傅里叶级数，哦，这里已经不能叫傅里叶级数了，称这个过程为傅里叶变换。

连续非周期信号的傅里叶变换(FT)：

我们有一周期为TT的信号x(t)x(t)，则傅里叶级数展开为：x(t)=∑∞n=−∞cnejnΩtx(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_{n}e^{jn\Omega t},且cn=1T∫T/2−T/2x(t)e−(jnΩ)tdtc_{n}=\frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2}x(t)e^{-(jn\Omega)t}dt

两边同乘T，取 T→∞T \rightarrow \infty，即：limT→∞cnT=limT→∞∫T/2−T/2x(t)e−(jnΩ)tdt=∫∞−∞x(t)e−jnΩtdt\lim_{T \rightarrow \infty} c_{n} T= \lim_{T \rightarrow \infty} \int_{-T/2}^{T/2}x(t)e^{-(jn\Omega)t}dt= \int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-jn\Omega t}dt

我们定义X(jΩ)=limT→∞cnTX(j\Omega)=\lim_{T \rightarrow \infty} c_{n} T为频谱密度，他可以反映非周期函数x(t)x(t)的频率密度分布情况，所以他正是我们要求的傅里叶变换！由傅里叶级数展开式，可以推导出：x(t)=1/2π∫∞−∞X(jΩ)ejnΩtx(t)=1/2\pi \int _{-\infty}^{\infty}X(j\Omega)e^{jn\Omega t},这就是我们要求的傅里叶反变换！

连续非周期信号傅里叶正反变换对：

X（jΩ）=1T∫T/2−T/2x(t)e−(jnΩ)tdt⟷x(t)=12π∫∞−∞X(jΩ)ejnΩtX（j\Omega）=\frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2}x(t)e^{-(jn\Omega)t}dt \longleftrightarrow x(t)=\frac{1}{2 \pi} \int _{-\infty}^{\infty}X(j\Omega)e^{jn\Omega t}

X(jΩ)X(j\Omega)和傅里叶级数的cnc_{n}一样，能够表示傅里叶展开的频率幅度和频率相位的关系。但是我们应该注意到，在cnc_{n}中，我们分析频率是都是基频的整数倍，因而频率幅度谱是离散的，而从推导X(jΩ)X(j\Omega)的过程我们也发现，由于周期趋向于无穷，傅里叶级数中的n倍基频和n+1倍之间的间隔越来越小，最后导致相邻两个谱线连在一起，离散谱变成了连续谱！过程如下图【1】



一般总结为：时域周期，频域离散。时域非周期，频域连续。再次脑补：傅里叶级数，傅里叶变换都是变换到频率域，分析特定频率上的幅度和相位谱。

傅里叶变换非常有用，而目前我们推导的是非周期信号的傅里叶变换，其实为了保证统一性，周期信号也是有傅里叶变换的，有句话说，周期信号的频谱是对应非周期信号的频谱在nΩn\Omega处的抽样值。具体周期信号傅里叶变换在此暂时不作过多讨论，这里有篇文章可以参考一下：

到目前为止，我们从连续周期信号跳转到了连续非周期信号。但是用计算机处理信号的时候，我们处理的都是离散的信号，所以对于连续信号的分析是我们具体应用傅里叶变换的铺垫，具体实战需要我们熟悉离散信号的傅里叶变换。

离散时间傅里叶变换（DTFT）

先记此文作为参考[3]

[1]信号分析与处理 杨西侠 机械工业出版社

[2]http://wenku.baidu.com/link?url=QiyAA8-DklDhLEmRHr1FnEmQC7vyVWTDzVvuj7rz6uNTuSSfL2nmtEGaH2NCk44EtR9qX-jtwHnIoIJ79UoEul7CBgkCGfFdED_0WoExYpW

[3]http://blog.sina.com.cn/s/blog_82a7901201017s4x.html