指数分布与泊松过程（三）

到达时间的条件分布.\textbf{到达时间的条件分布.}针对一个泊松过程，我们可能对如下问题感兴趣：在时间t之前恰有1个事件发生，那么这个时间发生的具体时间的分布是什么？其实我们直观的来说，由于泊松过程具有独立增量性，也就是在两个不相交的时间段内事件的发生相互独立。同时有平稳增量性，也就是在两个不相交的时间段内事件的发生服从泊松分布，分布只和时间段有关，而和时间的起始位置无关。那么我们就容易想到上述问题的答案是均匀分布，也就是这个事件发生在任何位置的概率是相同的。

\quad\quad下面，我们将这个上述的这个问题进行推广。假设在时间(0,t)(0,t)内有nn个事件发生，那么这nn个时间发生的时间又有什么样的分布。首先，我们先给出次序统计量的联合分布定义，假设Y1,...YnY_1,...Y_n是n个独立同分布的随机变量，它们的次序统计量为Y(1),...,Y(n)Y_(1),...,Y_(n)的联合分布是

f(y1,...,yn)=n!∏i=1nf(yi),y1<...<yn(1)f(y_1,...,y_n)=n!\prod_{i=1}^{n}f(y_i),y_1<...

它的解释是非常有意思的，我们令(t1,...tn)(t1,...tn)是(1,...,n)(1,...,n)的一个排列，那么随机变量Y1,...YnY_1,...Y_n等于yt1,...,ytny_{t_1},...,y_{t_n}的概率密度为

∏i=1nf(yti)=∏i=1nf(yi)\prod_{i=1}^{n}f(y_{t_i})=\prod_{i=1}^{n}f(y_i)

同时如果次序统计量Y(1),...,Y(n)Y_(1),...,Y_(n)等于y1,...,yny_1,...,y_n,其中y1<...<yny_1<...

，只需要Y1,...,YnY_1,...,Y_n等于y1,...,yny_1,...,y_n的一个排列便可，而这个排列方式有n!n!种。所以就可以得到式(1).

\quad\quad下面我们就给出第二个问题的回答，给定N(t)=nN(t)=n,nn个到达时间S1,...SnS_1,...S_n（有次序的，后面的大于前面的）与nn个在(0,t)(0,t)上均匀分布的独立随机变量所对应的次序统计量有相同的分布。其实这句话的意思也就是在(0,t)(0,t)中已经发生nn个事件的条件下，n个事件发生的时间是服从独立的（0，t）（0，t）上的均匀分布。

\quad\quad泊松过程的抽样。针对一个时齐的泊松过程，我们现在有k种类型事件，每一个事件被标记为类型i的事件依赖于其发生的时间t，同时以概率Pi(t)P_i(t)发生，那么我们记Ni(t)N_i(t)表示在时间t之前，发生的类型i的事件的个数，那么Ni(t)N_i(t)是一个非时齐的泊松过程，同时有

E(Ni(t))=λ∫t0Pi(s)dsE(N_i(t))=\lambda \int_0^{t}P_i(s)ds

\quad\quad下面是一个关于泊松过程的抽样的应用。

例.(无穷条服务线的排队问题)\textbf{例.(无穷条服务线的排队问题)}假设顾客按照速率为λ\lambda的泊松过程到达服务站。达到后的顾客立刻在无穷条可能的服务线中的一条接受服务，服务时间假定是独立的，具有共同的分布GG，到时间tt为止完成服务的顾客数X(t)X(t)的分布是什么？在时间t接受服务的顾客数Y(t)Y(t)的分布是什么？

分析：如果一个顾客直到时间t为止，完成了服务，那么我们记它为类型1顾客，如果知道时间t为止，没有完成服务，那么我们记它为类型2顾客。我们可以看出在时间s<ts时，一个顾客进入系统，并且在时间tt为止，完成了服务，成为类型1顾客，其概率为G(t-s)，即服务时间小于t−st-s.成为类型2顾客的概率为G¯(t−s)\bar {G}(t-s)，显然这是一个泊松过程的抽样。X(t)是泊松随机变量，期望为λ∫t0G(t−s)\lambda \int_0^t G(t-s),同样Y(t)的期望为λ∫t0G¯(t−s)\lambda \int_0^t \bar G(t-s).

泊松过程的推广\textbf{泊松过程的推广}

1.非时齐的泊松过程\textbf{1.非时齐的泊松过程}这和时齐的泊松过程相区别的一点就是参数λ\lambda是随着时间在变化的。上面，我们说到泊松过程的抽样时，我们说Ni(t)N_i(t)是一个非时齐的泊松过程，其实它的速率还是λPi(t)\lambda P_i(t).这个可以通过检验非时齐泊松过程的定义来说明。

非时齐泊松过程的性质1.\textbf{非时齐泊松过程的性质1.}令N(t),t≥0{N(t),t \geq 0}和M(t),≥0{M(t),\geq 0}是相互独立的非时齐泊松过程，速率分别为λ(t)\lambda(t)和μ(t)\mu(t),那么N∗(t)=N(t)+M(t)N^*(t)=N(t)+M(t)是非时齐的泊松过程，速率为λ(t)+μ(t)\lambda(t)+\mu(t).同时给定N∗(t){N^*(t)}在时间tt发生一个事件，独立于tt前发生的事件，这个在时间tt发生的事件以概率λ(t)/[λ(t)+μ(t)]\lambda(t)/[\lambda(t)+\mu(t)]来自{N(t)}过程。

性质2.\textbf{性质2.}对于每一个具有有界的速率函数的非时齐的泊松过程可以看成是一个时齐的泊松过程的时间的抽样。