动态规划(DP)之最长上升子序列
2015-05-30 08:57
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问题描述
一个数的序列aia_i ,当a1<a2<...<aS a_1 < a_2 < ... < a_S的时候,我们称这个序列是上升的。对于给定的一个序列(a1,a2,...,aN)(a_1 , a_2, ..., a_N),我们可以得到一些上升的子序列(ai1,ai2,...,aik)(a_{i1} ,a_{i2}, ...,a_{ik}) ,这里1<=i1<i2<...<iK<=N1 <= i1 。比如,对于序列(1, 7, 3, 5, 9, 4, 8) ,有它的一些上升子序列,如(1, 7), (3, 4, 8) 等等。这些子序列中最长的长度是4,比如子序列(1, 3, 5, 8)。对于给定的序列,求出最长上升子序列的长度。输入数据
输入的第一行是序列的长度N (1 <= N <= 1000) 。第二行给出序列中的N个整数,这些整数的取值范围都在0到 10000。输出要求
最长上升子序列的长度。输入样例
71 7 3 5 9 4 8
输出样例
4解题思路
找子问题
“求以aka_k(k=1, 2, 3…N)为终点的最长上升子序列的长度” 一个上升子序列中最右边的那个数,称为该子序列的“终点”。虽然这个子问题和原问题形式上并不完全一样,但是只要这N个子问题都解决了,那么这N个子问题的解中,最大的那个就是整个问题的解。确定状态
子问题只和一个变量– 数字的位置相关。因此序列中数的位置k 就是“状态”,而状态 k 对应的“值”,就是以aka_k做为“终点”的最长上升子序列的长度。状态一共有N个。找出状态转移方程
maxLen (k) 表示以aka_k做为“终点”的最长上升子序列的长度那么:初始状态: maxLen (1) = 1
maxLen (k) = max { maxLen (i) : 1<=i < k 且 ai < ak且 k≠1 } + 1
若找不到这样的i, 则 maxLen(k) = 1
maxLen(k) 的值,就是在aka_k左边,“终点”数值小于aka_k ,且长度最大的那个上升子序列的长度再加1 。因为 ak左边任何“终点”小于aka_k的子序列,加上aka_k后就能形成一个更长的上升子序列。
代码实现
[code]#include <iostream> #include <algorithm> #include "string.h" #define Max 1001 using namespace std; int D[Max]; int Maxlen[Max]; int num; int main(int argc, char const *argv[]) { int i, j; int max_len = 0; cin >> num; for(i = 1; i <= num; i ++){ cin >> D[i]; Maxlen[i] = 1; } for(i = 2; i <= num; i++) for(j = 1; j < i; j++){ if(D[i] > D[j]) Maxlen[i] = max(Maxlen[i], Maxlen[j]+1); } for(i = 1; i <= num; i++) if(Maxlen[i] > max_len) max_len = Maxlen[i]; cout << max_len << endl; return 0; }
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