Lucas定理应用分析——大组合数取模

首先给出Lucas（卢卡斯）定理：

有非负整数A、B，和素数p，A、B写成p进制为：A=a
a[n-1]...a[0]，B=b
b[n-1]...b[0]。

则组合数C(A,B)与C(a
,b
)×C(a[n-1],b[n-1])×...×C(a[0],b[0]) mod p同余。

即：Lucas(n,m,p)=C(n%p,m%p)×Lucas(n/p,m/p,p) ，特别的，Lucas（x，0，p）=1。

其实说白了，Lucas定理就是求组合数C（n，m）mod p（p是素数）的值，即(（ n! /(n-m)!）/m! )mod p，而我们

又知道(a/b)mod p=a*b^(p-2)mod p（这里用到了一点逆元和费马小定理的知识），这样我们就可以在计算阶乘的过程中对p取模，不会造成溢出。（需要注意的是Lucas定理处理的p的范围大致为10^5数量级）

看下面一道题：HDU3037

题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3037

题目大意：m个种子要放在n颗树上，问有多少种方法，结果对素数p取模。

分析：m个种子可以分成两部分：放在树上的和不放在树上的，我们可以假想出第n+1颗树，认为那些没放在树上的种子放在这颗假想树上，这样，问题就变为了m个种子放在n颗树上有多少种方案数了。等价于方程X1+X2+...+Xn+1=m有多少组非负整数解，即(X1+1)+(X2+1)+...+(Xn+1+1)=m+n+1有多少组正整数解。挡板原理：（m+n+1）个1，分成n+1部分的方案数==>C（n+m,n）。到这儿就很明显了，果断Lucas。

实现代码如下：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
typedef long long llg;
const int N =150000;
llg n, m, p, fac
;
void init()
{
int i;
fac[0] =1;
for(i =1; i <= p; i++)
fac[i] = fac[i-1]*i % p;
}
llg quick_mod(llg a, llg b)
{
llg tmp = a % p, ans =1;
while(b)
{
if(b &1)  ans = ans * tmp % p;
tmp = tmp*tmp % p;
b >>=1;
}
return  ans;
}
llg C(llg n, llg m)
{
if(m > n)  return 0;
return  fac
*quick_mod(fac[m]*fac[n-m], p-2) % p;
}
llg Lucas(llg n, llg m)
{
if(m ==0)  return 1;
else return  (C(n%p, m%p)*Lucas(n/p, m/p))%p;
}
int main()
{
int t;
scanf("%d", &t);
while(t--)
{
scanf("%I64d%I64d%I64d", &n, &m, &p);
init();
printf("%I64d\n", Lucas(n+m, m));
}
return 0;
}

对于p比较大的情况，不能对阶乘预先处理，需要单独处理。

题目链接：http://acm.fzu.edu.cn/problem.php?pid=2020

题目大意：求C（n，m）mod p。n,p是10^9数量级的。

实现代码如下：

#include <iostream>
#include <string.h>
#include <stdio.h>

using namespace std;
typedef long long LL;

LL n,m,p;

LL quick_mod(LL a, LL b)
{
LL ans = 1;
a %= p;
while(b)
{
if(b & 1)
{
ans = ans * a % p;
b--;
}
b >>= 1;
a = a * a % p;
}
return ans;
}

LL C(LL n, LL m)
{
if(m > n) return 0;
LL ans = 1;
for(int i=1; i<=m; i++)
{
LL a = (n + i - m) % p;
LL b = i % p;
ans = ans * (a * quick_mod(b, p-2) % p) % p;
}
return ans;
}

LL Lucas(LL n, LL m)
{
if(m == 0) return 1;
return C(n % p, m % p) * Lucas(n / p, m / p) % p;
}

int main()
{
int T;
scanf("%d", &T);
while(T--)
{
scanf("%I64d%I64d%I64d", &n, &m, &p);
printf("%I64d\n", Lucas(n,m));
}
return 0;
}